归纳推理 深度学习

翟运胜

【教学内容】

苏教版四下第96至97页“多边形的内角和”。

【教学目标】

1. 使学生通过观察、操作、计算、推理等方式探索多边形的内角和，发现多边形内角和与多边形边数之间的关系，抽象概括出计算多边形内角和的一般方法。

2. 经历探索和发现规律的过程，积累探索规律的活动经验，感悟类比、归纳、数形结合、转化、模型等数学思想，初步形成问题意识、探究意识和创新意识，体验成功的喜悦，树立学好数学的信心。

【教学重难点】

引导学生将多边形转化成若干个三角形，发现分成的三角形的内角和就是多边形的内角和，并能用数学模型表示。

【教学过程】

一、特殊到一般，诱发猜想

1. 依次出示一条线段、两条线段，首尾连接，不能围成一个封闭图形，再出示一条线段，引导学生发现至少要有三条线段首尾连接才能围成一个封闭图形。

2. 出示一个三角形。

师：三角形有3条边，有3个角，三角形3个角的度数和叫作三角形的内角和。我们知道三角形的内角和是180°，如果是一个四边形呢？

3. 出示一个长方形与一个正方形。

师：它们的每个内角都是90°，它们的内角和是90°×4=360°。长方形与正方形是特殊的四边形，根据这些，你能提出怎样的猜想呢？

预设：是不是任意一种四边形的内角和都是360°呢？

设计意图：这是一节引导学生进行推理归纳提升数学思维的综合实践课，在学习本节课之前，学生已经认识了三角形的内角和是180°，了解了多边形的基本特征。教学中由三角形的内角和以及长方形与正方形的内角和引发对于四边形内角和的猜想，勾起学生的探究欲望，为后续探究学习做好心理铺垫。

二、自主探究，建立模型

1. 出示一个四边形。

师：这是一个一般四边形，你能自己想办法求出四边形的内角和吗？

教师组织学生在课堂探究单上尝试画图操作。

预设1：从一个顶点引出1条对角线，可以把四边形分成2个三角形。

预设2：受探究三角形内角和的正迁移，学生可能会把四边形的四个角撕下来拼在一起。

组织学生比较两种方法，哪种方法更方便快速。学生选择画对角线，可以把四边形分成2个三角形，引导学生发现这两个三角形的内角就是四边形的内角和。

2. 師：五边形的内角和是多少度？六边形呢？你能自己想办法求出它们的内角和吗？

预设：学生受上述方法的启发，迁移类推：从一个顶点引出2条（3条）对角线，把五边形（六边形）分成3个（4个）三角形。从而推理出五边形的内角和就是180°×3=540°，六边形的内角和就是180°×4=720°。

教师同步展示课件。

3. 师：如果边数再多一些，它的内角和是多少度呢？

引导学生列表探究，把下表填写完整：如果是七边形呢？从一个顶点引出几条对角线呢？分成的三角形个数是多少呢？内角和是多少呢……

学生独立思考，小组讨论后回答结果。

设计意图：学生要成为学习的主体而不是被动的知识接收器，就得有“活动”的机会，有“亲身经历”（用自己的身体、头脑和心灵去模拟、简约地经历）知识的发现（发明）、形成、发展过程的机会。在这个环节中教师引导学生运用把一个多边形拆分成若干个三角形的方法依次找到五边形、六边形的内角和，然后借助列表推理研究，引导学生从数据中归纳出数学规律，建构数学模型，感悟抽象、推理、建模等数学思想。

三、深入思考，理解实质

1. 师：经历了这个结论的推导过程，你有什么问题要提出吗？

预设：为什么多边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是“边数-3”呢？

预设：以一个六边形为例，六边形就是6个顶点，只从一个顶点出发，不能向相邻的两个点引出对角线，再去掉自己本身这个点，可以连出（边数-3）条对角线，这样就把多边形分成了（边数-3+1）个三角形，也就是（边数-2）个三角形，因此多边形的内角和就是180°×（边数-2）。

设计意图：引导学生反思推导的过程并提出问题，培养问题意识，借助六边形来说明为什么引出对角线的条数是“边数-3”，把学生的思维引向深入，思考规律背后的原因。

2. 回想整个规律的得出过程，你有什么收获？

根据学生的回答总结得出“猜想——验证——归纳——反思”。

四、深化新知，拓展思维

1. 运用乘法分配律引出多边形的内角和的另一种表达方式：

多边形的内角和=180°×（边数-2）

=180°×边数-180°×2

=180°×边数-360°

师：这个推理出来的结论对不对呢？我们可以用一个多边形来说明问题，你能看图说一说吗？（图1）

预设：这是一个四边形，在四边形内任意点上一点，每个顶点与这个点都连起来，这样就把这个四边形分成了4个三角形，这4个三角形的内角和就是180°×4，不过在这4个三角形中，有这样4个角是不属于多边形内角和，这4个角合在一起就是360°，所以再去掉360°，也能求出这个多边形的内角和。

2. 师：多边形的内角和还可以写成这种形式，多边形的内角和=180°×（边数-1）-180°，你能借助这个五边形说明这种形式也是正确的吗？（图2）

设计意图：运用乘法分配律，使学生得到公式的另外两种形式，引导学生数形结合说明这两种结论的正确性，殊途同归，培养学生的发散性思维和创新意识，从不同的角度再次验证结论，开掘思维的深刻性。

五、应用研究，拓展延伸

1. 工人师傅用地砖铺地，我们会看到形状为正三角形的地砖（正三边形），正方形的地砖（正四边形），正六边形的地砖，那么有没有正五边形的地砖呢？

思考：地砖可不可以是正五边形的呢？我们现在把几块正五边形铺在一起，发现没有铺满，这是怎么回事呢？

学生小组讨论后回答，预设：原来正五边形的内角和是180°×（5-2）=540°，正五边形的每个角的度数都是一样的，540°÷5=108°，360°-108°×3=36°，还会留下一个36°的缺口。这就是没有正五边形地砖的原因。（图4）

师：正三角形、正方形和正六边形，为什么可以铺满呢？你能自己说一说其中的原因吗？（图3）

设计意图：应用多边形内角和的结论，解决正五边形不能密铺的问题，使学生通过观察计算验证，培养应用意识，提升数学核心素养。

（作者单位：江苏省苏州工业园区方洲小学 责任编辑：王彬）