数学课堂教学结构中的“起承转合”

陆军

摘要：新课改带来了新的教学理念。与传统的课堂相比较，现在的数学课堂的教学形态发生了根本性变化，但客观存在教学过程失衡的现象。从教学设计角度来看，合理的课堂教学结构应是“起承转合”式的：首先，教学选择具有研究性、障碍性的问题设定问题情境；其次，为学生提供参与数学活动的有利条件；再次，鼓励学生用自己的语言表达对数学个性化的认识并进行问题变式的训练；最后，根据学生的学习能力，进行有适度的拓展延伸，满足不同学生的学习需要，以保证教学的有效性与科学性。

关键词：数学课堂；教学结构；问题情境；数学活动；基础训练；延伸拓展

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）05B-0057-04

“起承转合”是一种经典的诗文写作结构章法的技巧。“起”是开端；“承”是承接上文加以申述；“转”是转折，从另一方面立论；“合”是结束全文。与传统的课堂相比较，现在的数学课堂注重以生为本，强调多维目标，强化合作意识，增进相互交流，课堂的教学形态发生了根本性变化，但客观存在教学过程失衡的现象。一个好的数学课堂教学设计应当具有如“起承转合”般的结构，以保证教学的有效性与科学性。

一、起——创设问题情境

亚里士多德指出，“思维从问题的惊讶开始”，问题是思维的心脏。学习的本质是体验，体验就需要合适的环境和氛围——情境。教师应尝试把学生引入丰富多彩的生活世界，在情境中学习；让学生去体会数学在现实生活中的无处不在，体会数学是有价值的、数学的学习是有意义的。

以学生为本，以学生的学为本是问题情境的出发点。一个好的问题情境，关系着一节课的效率。在创设问题情境的实践中，我们不难发现：较窄的问题，难以激发学生的思想火花；较广的问题，使学生思维指向不能快速集中到教学内容上；有时因为真实情境过于繁琐，不利于学生学习，教师要进行适当的加工……课程标准中对数学学习内容的描述是现实的、有意义的、富有挑战性的。一个好的问题情境设置也应同样如此。

1.问题的选择要有“研究性”

问题情境的选择为一节课的成功奠定了基调。问题不仅是话语的，也可以是实践的、充满智慧的探究和体验，可以是生活中的现象，也可以是数学的问题，甚至是学生的错题等。但一个好的问题，必然有一定的广度，是学生熟悉的，符合学生的年龄特征，能激发学生兴趣，诱发学生思维的积极性问题。

2.问题的选择要有“障碍性”

一个好的问题，必然有一定深度。问题情境的创设要与学生的智力和知识水平相适应，难度的适中。例如解方程x+2=1这个问题，对于初一年级学生来说是有障碍的，而对于初三年级学生来说就失去了问题的价值。过于简单的问题难以激发学生求知欲，反之会降低学生学习的积极性。只有在学生的“最近发展区”提出问题，才能促进学生最大限度地调动相关旧知识来积极探究，找到新知识的“生长点”，实现学生的“现有水平”向“未来的发展水平”的迁移。

二、承——建构数学活动

就数学概念学习而言，“经验”对新概念学习的影响更多地表现在概念系统的扩张上。在一个概念的学习前，学生在头脑中已经有一些经验，教师应利用学生的基本经验，通过解决问题情境的过程，让学生做数学训练，在交流合作中去搭建知识体系。教师要舍得给时间让学生思考交流，延迟判断，让每个学生在独立思考的基础上讨论交流，阐述个人的观点，让学生经历知识的发生并主动获取知识。

例如，在勾股定理（1）的教学中，建构活动可以设计如下：

1.让学生在方格纸上先画一个等腰直角三角形，分别以三边为边长向三角形外作正方形。通过数格子的方法得出以直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。

2.让学生画两个一般直角三角形，发现上述结论是否成立？

3.让学生画一个一般锐角三角形，发现上述结论是否成立？

4.让学生画一个一般钝角三角形，发现上述结论是否成立？

通过活动，学生感受到勾股定理的核心条件是直角三角形。

给学生一个建构概念的过程，确实没有直接“抛”结论“来得快”。但数学教学不仅仅是数学知识的教学，还应该伴随着数学思想的渗透，包括研究数学的方法和对数学文化的理解。经历这样的训练过程，学生的理性思维可以得到有效地锻炼。

三、转——数学化认识与基础训练

在建构活动中，当学生积累了一定的数学活动经验，必须从感性的经验上升到对数学理性的概括时，自然而然教学环节就转到了数学概念的形成。

1.数学化认识

例如，在《反比例函数的图像和性质》的教学中，教师让学生尝试画出反比例函数y= 的图像。学生在建构活动中，出现了以下几种常见的错误：

（1）如图1所示，学生作图时，没有将曲线的两支断开，而是用线段将两支连在一起。错误产生的原因是学生在列表时，受到一次函数的影响，不细心地认为当x等于0时，y也等于0。在教师给予提示后，学生能认识到当x=0时， 无意义。

（2）如图2所示，学生在作图时，用线段连接图像。错误产生的原因是学生受到“一次函数的图像是一条直线”的影响。在相互交流中，学生能理解用平滑的曲线顺次连接第一象限内的各点，得到图像的一个分支；顺次连接第三象限内的各点，得到图像的另一个分支。

（3）如图3所示，学生作图时，图像没有延伸部分。

（4）延伸部分与坐标轴有交点。

（5）图像没有画成向两坐标轴不断趋近。

以上的建构活动，为提供给学生一个研讨的素材，学生在小组交流、组与组交流中阐述自己对数学的理解，为概念的形成奠定了基础。在观点基本达成一致的背景下，教师提出问题“画一个反比例函數的图像，有哪些注意事项？”让学生在交流的基础上，用自己的语言表达对数学个性化的认识，对自己产生的错误进行重点的分析。

概念的形成不僅要强调正面的，也要强调错误的。不仅强调概念的内涵，也要强调概念的外延。在“说概念”后要求学生阅读课本相关内容，从而培养学生阅读课本的习惯，发挥课本的示范作用，引导学生在理解的基础上掌握数学知识。

2.基础训练

基础训练包括例题讲解和巩固练习。前者是一种规范，后者是一种反馈和提高。例如，在《平均数》的教学中，基础训练可以设计如下：

一面粉加工厂包装面粉，要求每袋100斤，随机抽查了其中10袋面粉的重量，列表如下（见表1）：

师：你能求出这10袋面粉的平均重量吗？

生1：解法一

x= =101

因为刚学过平均数的概念，学生大都给出了这样的解法，特别是在借助了计算机进行计算的条件下。这时，教师便不断地启发学生是否还有别的做法。

生2：解法二

x= =101

教学不能仅停留于结果，而是应该让学生说明解题思路，找出解法二与解法一的联系，给予足够的时间让学生再去思考新的方法。

生3：解法三

x = =101

部分学生能理解算式的实际意义，但计算结果是统一的，是不是巧合？在交流中学生说出了自己的理解，尤其是生3的话，让人感到后生可畏：“我观察表格中的各个数据，它们都在100附近，我把100作为基数，99比100少1，所以记作-1，-1就是零头，同样第二个数据102，2就是零头，-1+2+2+0+1+0+2+2+1+1就是所有零头的和，基数是100，有10个100，总数就是100×10+（-1+2+2+0+1+0+2+2+1+1），除以个数10，就得到平均数101”。

生3把100作为基数，激发了部分学生的想法：101是不是能作为基数？102呢？实践证明，将101作为基数解题更简单，学生最终达成一致。

“99=100-1，102=100+2，101=100+1，所以99+102+102+100+101+100+102+102+101+101=（100-1）+（100+2）+（100+2）+（100+0）+（100+1）+（100+0）+（100+2）+（100+2）+（100+1）+（100+1）=100×10+（-1+2+2+0+1+0+2+2+1+1），解法三本质就是解法二”。

部分学生还沉浸在喜悦之中，生4有又新的想法。

解法四：x=100+ =101，如果100为基数，零头的平均数是1，就是说比基数多1。

通过反思，学生不断形成新的知识结构。教学依靠这种“解题变式”和“题型变式”，可以培养学生的思维能力，防止学生对所学习的基本知识和掌握的基本技能陷入僵化。问题的变式总带有一种启发性，学生在变式训练中，能发现数学的本质，避免重复机械的操作训练，导致思维的疲劳和对学科关注度的降低。

四、合——整合再拓展

整合学生的学习能力，我们的课堂可以有适度的拓展延伸，以满足不同学生的学习需要。数学课堂的拓展可以分为三种：技能型拓展、思维型拓展和应用型拓展。

1.技能型拓展

新课程删除了繁难偏旧的内容，不主张技能型的拓展。

2.思维型拓展

数学课堂应尊重学生的个体差异，让不同的人在数学上得到不同的发展。数学作为思维的体操，要求思维型拓展存在，以完善部分学生的知识结构，使其思维能得到纵向的发展。平时课堂中的小结也可以归结为思维型拓展。通过小结，我们可以对所学习的知识进行再提炼。同时，把教学的触角延伸至课外，为学生的继续学习提供可能。

3.应用型拓展

数学教学应从问题开始，指向对数学内部知识的研究，引导学生利用数学知识解决实际问题，在知识的应用中不断巩固和深化数学思维，从而体现数学的价值。

责任编辑：李韦

An Exploration into the Structure of Mathematics Classroom Teaching

LU Jun

（Xincheng Junior Middle School， Nanjing 210019， China）

Abstract： The new curriculum reform brings us the new ideas of teaching. Compared with traditional classroom teaching， modern mathematics classroom teaching has changed fundamentally， but there still exist some imbalanced phenomena in the process. From the angle of teaching design， the reasonable structure of classroom teaching should have four steps： firstly， teaching should select the problems with the property of research and barriers to set the problem situation； secondly， providing students with favorable conditions of participation； thirdly， encouraging them to use their own speech to express their knowledge on mathematics individuality； finally， properly expanding and extending according to their learning ability to satisfy different students learning needs， guaranteeing the effectiveness and science of teaching.

Key words： mathematics class； teaching structure； problem situation； mathematics activity