基于二阶隐马尔可夫模型的桥梁健康状况分析与评定

叶 飞 ，盛昭瀚，徐 峰

（南京大学；1a.工程管理学院；1b.社会科学计算实验中心，南京 210093；2.铜陵学院 信息技术与工程管理研究所，安徽 铜陵 244061）

桥梁是指为道路跨越天然或人工障碍物而修建的建筑物，是道路的重要组成部分，直接关系着行车和行人的安全，维系道路的安全与畅通，对于保障国家或地区社会经济活动正常运行具有重要的作用[1]。中国作为发展中国家，在改革开放后开始步入大规模的桥梁建设阶段。截至2013年底，全国公路桥梁达73.53万座，总长3 977.80万m，其中，特大桥梁3 075座，大桥67 677座，已超过美国跃居世界第一[2]。相对于发展中国家，美国等世界发达国家的桥梁建设高峰已过，大部分桥梁已经修建了较长时间。随着时间的推移，无论是发展中国家还是发达国家，将有越来越多的桥梁进入老化阶段，逐步成为危桥，直至引发桥梁安全事故。近十几年来，国内外桥梁坍塌事故不断。例如，1999年重庆綦江县虹桥发生特大坍塌事故，导致40人死亡，14人受伤，造成直接经济损失631万元。2003年印度西部达曼市一座桥梁突然坍塌，正在桥上行驶的5辆机动车坠入河中，导致24人死亡，其中22人是小学生。2007年美国明尼苏达州密西西比河大桥坍塌，导致8人死亡、79人受伤。这些桥梁坍塌事故造成了严重的人员伤亡，给国家财产造成了巨大的损失，并对社会经济活动构成了严重的威胁。在这些桥梁坍塌事故中，很多是因为“年久失修或日常管护不到位”而引起的，都塌在建设或使用过程的管理上。为了保证桥梁安全和交通畅通，管理者需要及时发现桥梁发生的病害和出现的缺陷，及时了解桥梁的健康状况，以便对桥梁进行科学、有效、及时地养护与管理。当前，桥梁的养护管理已引起了社会的广泛关注，得到了政府、社会各界及人们的高度重视。

在桥梁的养护管理中，桥梁健康状况的等级评定一般是依据桥梁定期的监测数据而进行的，通过对桥梁监测数据的综合评定，确定健康状况的等级，并对健康状况的发展趋势做出预测，进而制定桥梁的养护策略。其中，桥梁健康状况的等级评定是至关重要的，等级评定的准确度直接关系到桥梁养护决策的质量。对桥梁健康状况过高的估计会导致病害和缺陷不能被及时发现，从而增加桥梁的安全隐患，甚至引发桥梁安全事故；对桥梁健康状况过低的估计会导致不必要的养护费用，从而增加桥梁的全生命周期成本，加重公共财政的压力。桥梁本身作为一个复杂动态系统，具有随机性和演化性。同时，监测数据也会存在一定的系统误差和随机误差。在桥梁养护管理中，怎样应对系统的随机性、演化性和监测数据的测量误差，提高桥梁健康状况等级评定的准确度是管理者在进行桥梁养护管理决策时必须面对的问题。

近年来，马尔可夫模型在管理决策中得到了日益广泛的应用[3-4]。在桥梁的养护管理中，马尔可夫模型也是一类重要的决策分析工具。究其原因，主要在于两个方面：①因为马尔可夫模型具有良好的数学结构，且便于使用；②因为马尔可夫模型无须使用者对桥梁的工程原理和工程环境有彻底的了解[5]。在这类方法中，人们使用马尔可夫过程来刻画桥梁状况的随机性和演化性，通过一些离散的性能指标表示桥梁的健康程度，并通过马尔可夫过程的状态转移概率表示健康状况的退化趋势和程度[6]。近年来，已有一些相关的研究见诸文献。Lee[7]在有关桥面伸缩缝的研究中，利用马尔可夫模型分析了桥面伸缩缝的最佳养护时机和全生命周期最小成本问题。Zayed等[8]在有关钢桥的防护系统研究中，也利用马尔可夫模型讨论了钢桥养护策略和全生命周期最小成本问题。戴宇文等[9]在有关桥梁管理系统的研究中，分别使用马尔可夫过程和半马尔可夫过程建立了桥梁退化模型，对桥梁的健康状况进行了预测。卢新等[10]建立了基于改进的有限马尔可夫链的桥梁性能退化预测系统，对桥梁的主要病害模式和主要病害因素进行了预测。张春霞等[11]基于马尔可夫模型，对桥梁的养护时机进行了研究，给出了桥梁技术状态和养护费用的预测模型。其中，最成功的应用实例是美国联邦公路管理局基于马尔可夫模型开发的PONTIS系统[12]。PONTIS系统于1991年完成第1版的开发，目前已被广泛应用于美国的桥梁管理系统。上述研究对马尔可夫模型在桥梁养护管理方面的应用作了一些有益的探索，并取得了良好的效果。同时，值得注意的是，在上述研究中还存在一些值得进一步改进和完善的地方。主要表现在以下两个方面：

（1）马尔可夫模型不能很好地应对监测数据的测量误差问题。在马尔可夫模型中，人们假定监测数据可以如实地反映系统的真实状况。实际上，由于受监测方法、监测设备、监测位置以及数据的处理和解释过程等因素的影响，管理者常常只能得到具有噪声的数据，其中存在一定的测量误差，包括系统误差和随机误差[13-15]。正是因为这些测量误差的存在，监测数据一般不能如实地反映桥梁的健康状况。尽管人们可以借助一些校正方法在一定程度上减少误差，但是无法做到完全消除误差。为了更准确地进行桥梁健康状况的等级评定，管理者必须正视监测数据中存在的误差，探寻更加有效的等级评定方法。

（2）一阶马尔可夫过程不能充分地反映桥梁累积性病害的影响。在一阶马尔可夫模型中，给定系统的当前状况和历史状况，假定系统未来状况的演化趋势仅依赖于当前状况，而与历史状况无关。尽管这种假定在一定程度上是有效的，但同时也忽略了一些有用的统计特征，不能反映更多的历史相关性[16]。一些应用研究表明，如果使用高阶马尔可夫过程来刻画系统的演化过程，可以取得更好的效果[17-19]。同样地，对于桥梁，高阶马尔可夫过程也可以更好地反映桥梁累积性病害的影响。假定桥梁健康状况的性能指标有4类，分别记为“优、良、中、差”，下面考虑两种情形：第1种情形，假设在t-1时刻和t时刻健康状况分别为“优”和“中”；第2种情形，假设在t-1时刻和t时刻健康状况分别为“良”和“中”。直观上，人们不难理解在第1种情形下，健康状态在t+1时刻演化为“中”的概率更大一些。即相对于一阶马尔可夫过程，高阶马尔可夫过程可以更充分地反映桥梁累积性病害的影响。

基于上述分析，本文提出了一种基于二阶隐马尔可夫模型的桥梁健康状况分析与评定方法，其中同时考虑了测量误差和累积性病害的影响。

1 二阶隐马尔可夫模型的构建

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是一类具有双重随机过程的统计模型。其中，一个随机过程为马尔可夫过程，它描述了系统状况的演化规律，是不可以直接观测的；另一随机过程描述了系统状况与观测值之间的统计关系，是可以直接观测的[20]。隐马尔可夫模型具有可靠的概率统计理论基础和强有力的数学结构，目前已经被广泛应用于语音识别、字符识别和计算生物学等领域[21-23]。在现有的隐马尔可夫模型理论与应用研究中，主要是基于一阶隐马尔可夫模型。高阶隐马尔可夫模型作为一阶隐马尔可夫模型的一种改进，可以反映更多的历史相关性，已吸引了一些研究者的关注，并在理论和应用研究上取得了一定的进展[16]。Mari等[24]利用二阶隐马尔可夫模型研究了时序数据的挖掘问题，结果表明，二阶隐马尔可夫模型对于平稳段定位具有非常好的性能。周顺先等[25]研究了基于二阶隐马尔可夫模型的文本信息抽取算法，合理地考虑了概率和模型历史状态的关联性，比基于一阶隐马尔可夫模型的算法具有更高的抽取精度。Ye等[26]给出了一种任意高阶隐马尔可夫模型解码问题的新方法，为一阶隐马尔可夫模型和高阶隐马尔可夫模型的解码问题提供了统一的算法框架。上述研究表明，相对于一阶隐马尔可夫模型，高阶隐马尔可夫模型能够纳入更多的统计特征，能够对一些实际过程提供更加准确地描述。同时，这些研究也为高阶隐马尔可夫模型在实际中的应用提供了一定的理论基础。

在桥梁的养护管理中，桥梁健康状况的等级评定一般是依据桥梁定期的监测数据而进行的。由于系统误差和随机误差的影响，管理者常常只能得到具有噪声的监测数据，它们不能如实地反映桥梁的健康状况，管理者需要通过分析这些带有噪声的监测数据挖掘桥梁健康的真实状况。隐马尔可夫模型为分析和处理这一类数据提供了一种可行的理论框架。

本文分别使用随机过程｛st｝t≥1和｛ot｝t≥1表 示桥梁真实状况的演化过程和监测过程，并假定桥梁健康状况被分为N个等级，其中，“1”表示最好的状况，“N”表示最差的状况。假定管理者分别在t1、t2、t3时刻对桥梁状况进行了监测，监测状况分别记为：ot1=j1，ot2=j2，ot3=j3，对应的真实状况分别记为st1=i1，st2=i2，st3=i3。其 中，i1，i2，i3，j1，j2，j3∈｛1，2，…，N｝。如果在监测时段内没有对桥梁进行维护和修复处理，则桥梁的真实状况应该是逐步退化的，即有i1≤i2≤i3。同时，由于测量误差的影响，一般不满足：i1=j1，i2=j2，i3=j3，即监测状况往往不能如实地反映桥梁的真实状况。例如，可能出现如图1中所示的情况，即i1=j1，i2＞j2，i3＜j3。

图1 桥梁真实状况与桥梁监测状况误差示意图

另外，为了描述桥梁监测状况与桥梁真实状况之间的误差和不确定性，本文使用一组离散概率分布bi（ℓ）=P（ot=ℓ|st=i）表示，其中i，ℓ∈｛1，2，…，N｝。即当桥梁真实状况为i时，监测状况以概率bi（ℓ）取得ℓ。显然，监测过程｛ot｝t≥1受到真实状况演化过程｛st｝t≥1的控制。同时，本文假定桥梁监测状况只受桥梁当前真实状况的影响，而与桥梁的历史状况无关。

进一步，为了考虑累积性病害对桥梁的影响，使用二阶马尔可夫过程描述桥梁真实状况的演化过程｛st｝t≥1，即满足

上述等式意味着，桥梁在t+1时刻的状况不仅受到t时刻状况的影响，而且还受到t-1时刻状况的影响。二阶马尔可夫过程可以反映更多的历史相关性，具体如图2所示。

图2 二阶马尔可夫过程示意图

综上所述，本文建立了一个二阶隐马尔可夫模型｛st，ot｝t≥1，其中包含了桥梁真实状况的演化过程｛st｝t≥1和监测过程｛ot｝t≥1。具体如图3所示。

图3 二阶隐马尔可夫模型示意图

下面具体说明二阶隐马尔可夫模型｛st，ot｝t≥1中所涉及的参数和符号：

T——监测次数，管理者以等时间间隔对桥梁进行了T次监测，即1≤t≤T。

S——桥梁健康状况的指标集，用来描述桥梁的健康程度，不失一般性，可记S=｛1，2，…，N｝。其中，st∈S，“1”表示桥梁处于最好状况，“N”表示桥梁处于最差状况。

M——监测数据集，本文令M=S，ot∈M。

一步转移概率aij——假定在对桥梁进行维护和修复后立即开始监测，则桥梁初始状况应处在最好的情形，即s1=1。同时，假定桥梁后续状况的演化不受维修前历史状况的影响，即s2只受到历史状况s1的影响。此时只需要考虑一步转移概率，即

记A1=｛a1j｝。

两步转移概率aijk——假定桥梁在t-1时刻的真实状况为i，在t时刻的真实状况为j，记桥梁在t+1时刻真实状况演化为k的概率为a ijk，即

其中，i，j，k∈S。假设在监测时段内，管理者未对桥梁进行维护和修复处理。在这种情况下，桥梁的真实状况应该是逐步退化的，即有

记A2=｛aijk｝。

bi（ℓ）——符号发射概率，即

上述等式刻画了测量误差对监测数据的影响，当桥梁的真实状况为i时，监测数据服从某个离散分布。并且，对于不同的状况i，所对应的离散分布一般也是不同的。记B=｛bi（ℓ）｝。

πi——初始状况分布，即πi=P（s1=i）。记π=｛πi｝。假设在对桥梁进行监测前，管理者对桥梁进行了维护和修复处理，则

为了简便起见，本文使用符号λ=（π，A1，A2，B）表示二阶隐马尔可夫模型的整体参数。这样便得到一个具有参数为λ的二阶隐马尔可夫模型。其中，参数π、A1、A2刻画了桥梁真实状况的演化过程，参数B刻画了桥梁状况的监测过程。

假定管理者以等时间间隔对桥梁状况进行监测，共进行了T次监测，获得的监测数据序列记为O=o1o2…o T。由于系统误差和随机误差的影响，监测数据一般不能如实反映桥梁的真实状况，管理需要通过分析这些监测数据序列O=o1o2…o T来推断桥梁的真实状况。基于上述二阶隐马尔可夫模型，管理者可以通过解码问题的Viterbi算法推断出桥梁的真实状况，从而为进一步制定桥梁养护措施提供科学的依据。下面具体说明二阶隐马尔可夫模型的解码问题和相应的Viterbi算法，并说明其在桥梁健康状况分析中的实际意义。

所谓二阶隐马尔可夫模型的解码问题，一般是指在给定模型参数λ和监测数据序列O=o1o2…o T的前提下，确定一个状况序列，使之满足

对于二阶隐马尔可夫模型的解码问题，一般可使用基于动态规划的Viterbi算法[27]来求解。为此，首先需要定义一个Viterbi变量：

其中，i1，i2∈S。它表示沿一条路径s1s2…st-2st-1st，且st-1=i1，st=i2，产生监测数据序列o1o2…ot的最大概率。寻找最佳状况序列的具体步骤：

（1）初始化

（2）递归计算

（3）中断

（4）路径（最佳状况序列）回溯

综上所述，针对桥梁监测数据的测量误差和累积性病害的影响，运用二阶隐马尔可夫模型和Viterbi算法，提出了一种桥梁健康状况分析方法。基于桥梁状况的监测数据序列O=o1o2…o T，管理者可以通过Viterbi算法分析桥梁健康状况的真实演化过程，从而在一定程度上消除了测量误差的影响，达到滤波的效果，对桥梁的真实状况获得更加准确的认知。

2 数值分析与计算实验

根据我国公路桥梁技术状况评定标准（JTG/T H21—2011），桥梁健康状况一般被分为5个等级，本文分别使用“1、2、3、4、5”表示桥梁的健康程度。其中，“1”表示健康状况处于最好情形，“5”表示健康状况处于最差情形。据此，在下面的数值分析与计算实验中，令N=5。在实际应用中，可以通过历史监测数据和Baum-Welch算法[28]来获得模型的具体参数λ。在下面的数值分析与计算实验中，鉴于桥梁的实际演化规律，假定二阶隐马尔可夫模型的参数λ，具体如表1～4所示。

基于上述模型参数λ和二阶隐马尔可夫模型解码问题的Viterbi算法，使用MATLAB软件建立了一个m文件myviterbi（见附件）。为了说明本文所给方法的有效性和可靠性，对随机给定的两组监测数据进行了数值分析和计算实验，具体如下：

表1 初始状况概率

表2 一步状态转移概率

表3 两步状态转移概率(3≤t≤T)

表4 符号发出概率(1≤t≤T)

实验1随机给定桥梁状况的一组监测数据“131223353445552”，通过本文给出的分析方法，可以得出对应的桥梁真实状况应为“111223333445555”。具体如表5和图4所示。

实验2随机给定桥梁状况的一组监测数据“311234333443544”，通过本文给出的分析方法，可以得出对应的桥梁真实状况应为“111133333444444”。具体如表6和图5所示。

表5 桥梁实验1数据

图4 实验1示意图

表6 桥梁实验2数据

图5 实验2示意图

实验结果分析：

（1）在上述计算实验中，随机给定的两组监测数据都存在测量误差，不符合桥梁的实际演化规律。通过实验分析得出的桥梁真实状况序列都符合桥梁的实际演化规律，即在没有对桥梁进行维护和修复的前提下，桥梁真实状况总是逐步退化的。例如，在实验1中，第2次监测数据“3”、第8次监测数据“5”、第15次监测数据“2”均为异常，肯定存在测量误差。通过本文的分析方法，可以得出监测数据对应的桥梁真实状况为“111223333445555”，该结果符合桥梁的实际演化规律，从而消除了测量误差引起的异常数据。实验分析结果可以使管理者更好地认识桥梁健康的真实状况。

（2）在上述计算实验中，假定桥梁的初始状况是最好的。在实验2中，随机给定的第1次监测数据为“3”，这显然也是一个存在测量误差的数据。通过本文的分析方法，可以得出对应的桥梁真实状况为“1”，该结果符合本文对桥梁初始状况的假定，消除了测量误差引起的异常数据。

（3）通过比较实验1和实验2，还发现一个有启示的结果：如果在监测数据中出现一次“5”，此时桥梁的真实状况不一定为最差情形，可能是测量误差引起的；如果监测数据连续出现多次“5”，此时桥梁的真实状况一定为最差情形。据此，管理者可以更好地把握桥梁健康的真实状况，避免不必要的养护处理，降低桥梁全生命周期成本。

3 结语

本文使用二阶马尔可夫过程｛st｝t≥1刻画了桥梁真实状况的演化过程，从而更好地反映桥梁累积病害的影响。同时，使用随机过程｛ot｝t≥1刻画了桥梁真实状况的监测过程，并通过一组离散概率分布｛bi（ℓ）｝（1≤i≤N，1≤ℓ≤N）描述了监测数据的测量误差和不确定性。在此基础上，建立一个二阶隐马尔可夫模型｛st，ot｝t≥1。其中，桥梁真实状况的演化过程｛st｝t≥1是隐藏的，但桥梁真实状况的监测过程｛ot｝t≥1可以被直接观测。管理者需要通过分析具有噪声的监测数据来了解桥梁的真实状况。在二阶隐马尔可夫模型中，该问题被转化为解码问题，可以通过Viterbi算法来获得桥梁的真实状况。最后，通过数值分析与计算实验说明了基于二阶隐马尔可夫模型的桥梁健康状况分析方法的有效性和可靠性。

本文提出的基于二阶隐马尔可夫模型的桥梁健康状况分析方法，同时考虑了测量误差和桥梁累积病害的影响，可以更好地揭示桥梁的健康状况，提高健康状况等级评定的准确度。本文的研究对实际工程管理具有一定的借鉴价值：一方面，可以进一步丰富桥梁健康状况评定技术，有助于管理者及时发现桥梁的病害和缺陷，避免引发安全事故，维系道路的安全与畅通，保障国家或地区社会经济活动正常运行；另一方面，可以为桥梁养护管理提供更可靠的依据，提高桥梁养护的管理水平，以便对桥梁进行科学、有效、及时地养护与管理，降低桥梁的全生命周期成本，缓解公共财政的压力。

另外，在本文的研究基础上，有待于进一步展开的工作有：①将本文提出的方法应用到具体的桥梁健康状况分析中，此时一般需要通过分析桥梁的历史监测数据，并使用Baum-Welch算法获得模型的具体参数；②本文使用二阶马尔可夫过程刻画了桥梁真实状况的演化过程，进一步，可将二阶马尔可夫模型推广到任意高阶的情形，这样可以更好地反映桥梁演化的历史相关性；③本文假定二阶马尔可夫过程是齐次的，即状况转移概率不会随着时间而改变，进一步，可考虑用非齐次马尔可夫过程来刻画桥梁真实状况的演化过程；④本文通过一组离散概率分布来刻画监测数据的测量误差，在具体的应用中，可通过分析历史数据采用更合适的概率分布来描述；⑤本文给出的基于二阶隐马尔可夫模型的桥梁健康状况分析方法可以应用于其他基础设施，例如供水系统、道路系统和地铁系统等。

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