《曲边梯形的面积》教学分析

孟莹

（宁夏六盘山高级中学，宁夏 银川 750000）

选自教材：人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-2，第一章“导数及其应用”第五节“定积分的概念”第一课：曲边梯形的面积。

一、背景分析

（一）学习任务分析

《数学课标》下的微积分设计逾越了形式化极限概念学习这一障碍,强调微积分学习的思想性、选择性和广泛应用性，主张通过典型例子分析和学生的自主探索活动，使学生理解数学概念，体会蕴含在其中的数学思想、方法，追求数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为易于学生接受的教育形态，进而突出数学概念本质，这也是本次课改力度较大的地方。

本节是继由变化率认识导数后，通过求曲边梯形面积的实例，引导学生再一次了解微积分的思想方法：以直代曲和逼近思想。对于绝大部分高中学生来说，求曲边梯形的面积是一个非常困难的问题，他们很难找到解决问题的方法和步骤。本节课学生将借助问题情境，通过类比圆的面积的求法得到解决它的思想方法，同时借助计算机的直观形象的演示，让学生清楚的看到曲边梯形的面积由量变到质变的变化过程，引导学生感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法，并归纳求曲边梯形面积的“四步曲”。所以本节课既是理解后续定积分概念及几何意义的基础,也是充分感受用极限的思想方法思考处理问题的好题材，同时也是培养学生探究能力的好素材。学习任务分析层级图如下：

任务分析层级图可使学生把新的学习内容的要素与已有认知结构中特别相关的部分联系起来，进行有意义的学习。也可清楚的看出本节课的重点：通过求曲边梯形的面积这一过程，了解定积分的基本思想方法，初步掌握求曲边梯形面积的步骤的“四步曲”，领会其微积分思想方法。

（二）学生情况分析

1.在知识结构方面

前期必修1中学生已运用逼近思想学习了二分法；必修2中用极限思想方法推导了球的体积公式；必修3中又进一步探究了“割圆术”的思想方法；必修2-2导数的定义学习中再一次体会到了微分和极限思想。因此从知识结构方面高二学生已具有一定的以直代曲、逼近、极限思想，具备了本节课所需的预备知识。

2.能力方面

经过一年多的新课程学习，高二学生的参与、合作意识、自主探究能力、逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力有了明显提高。但学生对以直代曲、无限逼近的认识只是一些支离破碎的感性认识。而求曲边梯形的面积对学生的认知水平要求较高，再加上学生没有系统学习极限的有关知识，所以“怎么分割”、如何“以直代曲”是学生的首要难题，也是本节课的难点；无限逼近比较抽象，所以“逼近、取极限”是学生认知过程中的第二个难点。

3.情感方面

本节课将通过创设问题情境、画图操作验证、自主探究、合作交流等数学活动充分调动学生的好奇心，结合高二学生想探求新奇的心理，更大限度地调动学生的认知内驱力，让他们更多地体验成功的喜悦。

二、教学目标设计

《数学课准》指出本节课的目标是：通过求曲边梯形的面积从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想。我结合《数学课标》及学习任务分析和学生实际情况将本节课的教学目标确定为：

（一）知识与技能：

1.初步了解、感受定积分的实际背景。

2.体会“以直代曲”，“逼近”的思想。

（二）过程与方法：

通过探求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题，从而培养学生的逻辑思维能力。

（三）情感与价值

让学生在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。

三、课堂教学设计

《数学课标》要求课堂设计要重视知识发生、发展过程，要体现基础性、兴趣性、层次性。要求教师引导学生主动地从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成对数学本质的理解。基于此，本课采用“问题-探究”课堂教学模式，设计为：一个核心，多个层次，多种选择。如下图，以曲边梯形的面积为核心，通过这个载体，学生经历观察、动手操作、验算、讨论交流、总结归纳等活动，进而获得全方位的发展。学生学好核心内容后，根据需要，有多种选择，每个人都获得必备的数学素养与最佳发展。

四、教学媒体设计

根据本节知识本身的抽象性及作图的复杂性，在教学中将P53页的信息技术应用板块整合到本节课中，采用直观生动地展示分割过程和以直代曲的动态变化情况，再现了知识的发生过程，这样不仅提高了教学效率，更有效地突出教学重点，突破教学难点，并且让学生亲眼目睹数学知识产生过程形象生动的特点，亲身体验数学活动的乐趣，培养学生创新意识，真正体现了知识与技能，过程与方法、情感态度价值观三维目标。

针对以上分析，我认为，在新课程实施过程中，教师首先必须转变观念，要准确把握课标教材的教学要求。在本节课的的教学中，教师必须转变微积分的主要内容就是形式化的计算的传统观念，要淡化极限的形式化定义，在定积分概念的引入上多下工夫，要让学生通过图象直观、动态演示来理解定积分的本质。