基于问题驱动，构建简约质朴的数学教学
——以《三角函数的周期性》的教学实录为例

☉江苏省溧水高级中学 李宽珍

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，还指出：“数学课程要通过学生的自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴含在其中的数学思想，遵循数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”.新课标的总目标在原来“提高数学的提出、分析和解决问题的能力”上还增加了一条“发现问题的能力”，并且整体上升到问题解决“四能”的层面.问题解决的过程是培养学生能力、发展数学学科核心素养的过程.为了使基于问题的“四能”培育能有效落实到课堂教学的各个环节，并能在潜移默化中提升学生的核心素养，本文仅以三角函数的周期性教学为载体，谈谈问题驱动在课堂教学中的浸润深化，以期管中窥豹、抛砖引玉.

二、学情分析

《三角函数的周期性》是苏教版教材必修4第一章第三节的内容，主要是理解周期函数的概念，认识周期性的作用并会求正、余弦函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.在知识体系中本节起着承上启下的作用，一是因为在学习本章之前已经学习了任意角的三角函数和诱导公式；二是由于基于本节之后的三角函数的图像与性质的学习，因此周期性的作用为三角函数的作图埋下伏笔.从这个意义上说，三角函数的周期性既是已学知识的延续，又是即将学习的知识的基础.

三、教学片段

环节一——创设情境，引入课题

问题1：请同学们思考以下三个问题，并思考这三个问题有何共同点？

（1）观察钟表上的时针、分针、秒针，给我们什么样的感觉？

（2）每年的秋天，我们都可以观赏美丽的枫叶，这能给我们什么样的启示？

（3）为何我们的课表只列出周一到周五的课程？

生1：问题（1）中钟表上的时针、分针、秒针感觉是一圈又一圈地转，周而复始；问题（2）中每到秋天就可以观赏枫叶，也是四季轮回；在问题（3）中，因为每周一到周五的课程表都是一样的，所以只需列出周一到周五，下一周就是循环了.三个问题都是体现了一种周而复始的现象.

师：很好！我们把这种现象叫做周期现象.在日常生活中还有哪些周而复始的现象？请举例.

学生举例生日、属相等.

问题2：在数学中，我们称具有这种性质的函数具有周期性，你能举出学过的周期函数吗？为什么？

生2：刚学过的三角函数，例如正弦函数、余弦函数或正切函数都是周期函数.可从诱导公式加以解释.

设计意图：列举生活现象，引导学生从实际生活出发，体会周期性；列举周期函数，让学生再回到数学中体会这种性质，用数学化的式子刻画数学本质.由于学生刚学过三角函数，通过三角函数的图像和性质，学生不难发现函数中的这种性质.实现从自然现象到数学现象的迁移，有利于学生获取心理逻辑的自然.

环节二——学生活动，概念生成

问题3：三角函数具有怎样的周期性？能否具体说明？

生3：学过的正弦函数、余弦函数都是周期函数，例如：sin（2π+α）=sinα.

追问1：还可以怎么解释三角函数的周期性？

生4：还可以在单位圆中用三角函数线研究正弦、余弦函数值，即：

每当角α 增加或减少2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有：

sin（2π+α）=sinα，cos（2π+α）=cosα.

追问2：上述等式对任意的角α 都成立吗？

生4：由诱导公式可知，对任意角α 都成立.

图1

设计意图：虽然学生很容易想到三角函数的周期性，但是从学生的认知心理看，要描述周期函数的特征还是有一定难度的，因此充分利用三角函数这个载体，从单位圆入手展开对三角函数的研究，通过角的终边在旋转变化过程中函数值的变化，一方面，引导学生观察三角函数的周期性；另一方面，能将单位圆的运用发挥到极致.

师：正弦函数、余弦函数所具有的这种性质称为周期性.一般用T 表示函数的周期.能否用统一的式子表示这两个式子？

生5：记f（x+2π）=f（x）.

问题4：你能用数学符号描述这种周期性吗？是不是只有三角函数才有周期性？如果不是，一般函数的周期性怎么用数学符号刻画？

在此期间学生自主思考，小组讨论交流，教师来回巡查，督促或指导学生讨论的进展情况，或参与个别小组讨论，最后选出几个比较有代表性的小组展示成果，并与大家一起分享研讨成果和困惑，并尝试利用班级力量解决其中的困惑.

生6：T非零，而且x在定义域中，x+T也必须要在定义域中.

生7：上述式子可以统一写成f（x+T）=f（x）.

师：为何要规定周期非零？T 可以为负值吗？T 为正值或负值有什么区别？

生8：若T 不规定非零，那么任何函数均为周期函数了.T 无论正负，只要满足x 在定义域中，x+T 也必须在定义域中就可以了，要保证函数有意义.

生9（迫不及待地补充）：T 为负值时，函数图像就分布在x 轴的左边，通俗的说，周期函数就是指定义域内每一个值加上固定的值（不为0）后函数值不变.

师：理解得很到位！这样我们就得到了周期函数的概念.

设计意图：基于学生已有的知识储备，由自然现象过渡到数学中的周期性，再通过研究单位圆从中提炼周期函数随自变量变化的规律.通过学生自主探究，自主交流，激发了学生的学习欲望.

环节三——本真探究，建构数学

师：这样我们就得到了周期函数及周期的概念：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个值x，满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.

师：下面我们解决几道辨析题：判断下面说法是否正确，并说明理由.

（2）4π 是正弦函数y=sinx 的周期吗？说明理由.6π，-2π 呢？

设计意图：几个辨析概念的例子从反例出发，紧扣定义的核心要素，引导学生不断用定义进行辨析、理解，检验结论的正确性，加强学生对概念的巩固.

问题5：若函数f（x）是一个周期函数，T 为该函数的一个周期，该函数还有其他周期吗？请写出几个，并说明理由.

生11：若函数f（x）是一个周期函数，T 为该函数的一个周期，则T 的非零整数倍都是函数的周期.

追问1：周期有无数多个，最有代表性的是哪一个？我们研究什么样的周期比较合理、科学？

生12：最小正周期！

追问2：如何理解最小正周期？

几何画板演示正弦线在旋转一周后回到原点！同时引导学生观察、发现余弦函数、正切函数的最小正周期分别是2π 和π.

追问3：是否任何周期函数均有最小正周期？

生13：不一定，例如f（x）=1，x∈R，没有最小正周期！

设计意图：本片断中，通过对几个问题的拓展，延伸了学生的思维，指向性明确，便于引导学生发现问题的本质，通过一系列问题的探究，对概念中的要素进行辨析，便于更好地掌握概念.因此，在问题解决的过程中渗透数学思想方法，这是概念教学设计的一般途径，也是数学教学的主题.

环节四——数学应用，深化概念

例1若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图2 所示：

（1）求该函数的周期；

（2）求t=10s 时钟摆的高度.t=100s 呢？

图2

这是书上例题，根据周期函数的图像解决问题，学生不难解答，为了学生能更好地掌握，笔者将此题做了一点改动，即已知周期函数，能否根据某区间上的图像画出整个定义域上的图像？

变式1：函数f（x）=x2是周期函数吗？

变式2：已知函数f（x）是一个周期函数，周期为2，并且f（x）=x2，x∈［0，2］，你能否画出整个定义域上的图像？

问题6：周期函数的图像具有什么特征？

生14：周而复始，连绵不断！

追问：我们为何要研究周期函数？（学生茫然）

师：那大家回忆下我们为何要研究函数的奇偶性？

生15：画函数图像时只要画一半，即减少了研究的范围！

师：很好！研究函数周期性也一样，只要我们研究一个周期上的性质即可.

设计意图：通过类比引入周期函数研究的必要性，不但可以加强知识间的联系，而且有效突破难点，促进学生对新知识的理解，是一种行之有效的教学方式.问题“函数f（x）=x2是周期函数吗？”短小精悍，基于学生的盲点，引导学生对函数周期性的概念进一步辨析和理解，理清了学生对周期性概念的错误认识，起到巩固与深化的作用，从而激发了学生的学习成就感，课堂效果非常好.

例2求函数f（x）=cos2x 的周期.

展示学生的解法：设函数周期为T，则f（x+T）=f（x），即cos2（x+T）=cos2x 对任意实数x 都成立，即cos（2x+2T）=cos2x 对任意实数x 都成立.

令2x=u，则cos（u+2T）=cosu 对任意实数u 恒成立.

又y=cosu 的周期为2π，所以2T=2π，可得周期T=π.

变式：求函数的周期.

问题7：你能总结出形如函数y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 为常数，且A≠0，ω＞0）的周期为多少吗？函数y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ 为常数，且A≠0，ω＞0）的周期呢？

请填空——三角函数的周期公式：

①一般地，函数y=Asin（ωx+φ）及y=Acos（ωx+φ）（其中A，ω，φ 为常数，且A≠0，ω＞0）的周期为T=______.

②一般地，函数y=Atan（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期为T=______.

设计意图：将三角函数的周期公式以填空的形式给出，让学生再次巩固新学的公式.

环节五——课堂小结，提炼升化

师：通过今天的学习，你有哪些收获？

生16：知识上：①周期函数的概念，最小正周期；②三角函数的周期公式.

方法上：换元法，数形结合的思想，由特殊到一般的思想.

四、教学思考

本节课的总体思路是通过对生活中周期现象的认识及数学中周期函数的把握这两种不同角度的认识，引导学生将“周而复始”数学化、形式化，有效突破了难点.辨析问题、例题解析及问题拓展让学生从不同角度认识周期性的变化规律，从表到里，进一步体会“周期函数”的内涵.

1.问题驱动，追求教学的自然合理

一堂好课必然会激发学生的求知欲，而问题是实现这个目标的催化剂.本节课运用一系列的问题，将函数周期性的重点、难点用问题呈现，引导学生积极思考、主动交流，能清楚有效地表达自己的观点，形成自己的理解力.例如，本案例中例1 的教学，通过两个变式的追问和问题6 的设置，凸显了编者的意图，如周期函数的图像特征是怎样的？为后面的“借图识性”作了铺垫.而例2的教学，通过变式和问题7 的设置，让学生更加深刻地理解周期函数的内涵.同时与例1 呼应.

2.简约质朴，顺应学生的思维方式

课堂上每一个问题的提出，都是学生思维活动的开始，教师只需当好引导者，适时点拨、启发、指导.例如，本节课的引入立足于生活中常见的现象，力求朴实自然；接着过渡到数学中学过的周期函数，在学生的最近发展区内，学生根据已有知识经验能粗略概括出概念，同时，类比函数奇偶性的性质来帮助学生突破难点.一连串的问题设置使得整个教学流程自然合理，顺应学生的思维方式.

3.注重探究，培养学生的核心素养

波利亚说：“学习东西最好的途径是亲自去发现它，最富有成效的学习是自己去探索、去发现.”《新课标》指出：“普通高中数学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”本课例中通过对单位圆中三角函数线的观察、探究感受并识别函数的周期性；通过与函数奇偶性的类比，探究得到函数周期性的定义.通过学生观察、分析、对比，在探究中加深了对数学本质的理解.