基于“历史上的为什么”的概念教学引入
——以“函数的奇偶性”概念教学为例

☉上海市建平中学 李传峰

2014 年3 月的《数学通报》在首篇位置刊登了汪晓勤教授的文章《“奇、偶函数”考源》，文中提到学生在学习“函数的奇偶性”概念时，总会产生疑问：为什么具有性质f（-x）=f（x）的函数叫“偶函数”，具有性质f（-x）=-f（x）的函数叫“奇函数”？汪晓勤老师把该问题叫“历史上的为什么”.作为一线的高中数学教师，笔者颇有感触，教师在数学概念教学中通常更关注如何把数学概念的数学内涵讲透彻、讲明白，而忽视数学概念最早是怎么形成的.这会造成学生在数学概念学习中产生障碍和困惑.笔者以为，应当在数学概念教学中恰当地引入数学史，讲清“历史上的为什么”.

文［1］中考证了“奇、偶函数”概念最初源于幂函数f（x）=xn，当n 为偶数时f（-x）=f（x），把这样的函数叫偶函数；当n 为奇数时f（-x）=-f（x），把这样的函数叫奇函数.后来，通过历史的不断演变，为了叙述简便，我们教材直接把在定义域上具有性质f（-x）=f（x）的函数叫偶函数；在定义域上具有性质f（-x）=-f（x）的函数叫奇函数.这样使“奇、偶函数”的名称与内涵发生分离，从而造成以后学习者对概念名称来源的困惑.

基于此，笔者重新设计了“奇、偶函数”概念课的教学引入.

一、笔者的教学引入设计

（一）函数求值.

（1）f（x）=x0；（2）f（x）=x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=x3.

（四个学生在黑板上做）

（二）观察求值结果，归纳函数特点.

结论1：函数（1）、（3）有f（-x）=f（x）；函数（2）、（4）有f（-x）=-f（x）.

（三）推广1：（1）函数f（x）=x2n（n∈Z）对定义域内任意的x 满足f（-x）=f（x）；

（2）函数f（x）=x2n+1（n∈Z）对定义域内任意的x 满足f（-x）=-f（x）.

（四）结论2：（1）把函数f（x）=x2n（n∈Z）称为偶函数；

（2）把函数f（x）=x2n+1（n∈Z）称为奇函数.

（五）把（一）中有关函数的函数值所对应的点在坐标系中画出来.

（六）画下列函数的图像：

（1）f（x）=x0；（2）f（x）=x；（3）f（x）=x2；（4）f（x）=x3.

图1

（七）结论3：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称.

（八）推广2：凡是图像关于y 轴对称的函数都称为偶函数；凡是图像关于原点对称的函数都称为奇函数.

…

笔者放弃了使用多媒体设备，以传统的粉笔、黑板为主阵地，通过学生计算、描点、画图等活动，使学生在活动中自然地获得概念的产生、发展与形成.

从课后对学生的访谈和测试成绩来看，学生对“函数的奇偶性”概念的认识是深刻的、本质的，没有学生再问那个“为什么”.由于跳出了高度抽象化的“函数的奇偶性”概念表述，因此，学生对y=x5、y=x6、y=x-x3、y=x2+x4等类型函数的奇偶性判定有很好的直觉效果.甚至到后面学习更复杂的复合型函数奇偶性时，学生由于了解“函数的奇偶性”概念由来的“历史上的为什么”，也可以比较轻松的理解和运用.

需要说明的是，由于在本节概念课的设计中“奇、偶函数”概念的内涵是通过两个阶段逐渐给出的，从而拉长了概念引入的时间.为了增加课堂教学的思维容量，该课堂引入中涉及的函数均是一题多用.

（1）以这些函数复习幂函数的有关知识，为学习新知识做好知识铺垫；（2）自然引出“奇、偶函数”概念的历史来源；（3）后面作为例题起到板书示范的功能；（4）也作为练习起到熟悉概念和巩固概念的功能.

这样，把引入部分的具体函数既作为引入背景，又作为例题和练习来巩固概念，从而提高了课堂效率．

二、对教学实践的体会

为什么学生在本节课学习后有较好的学习效果？笔者以为，该教学引入的设计有利于呈现“奇、偶函数”概念的本质属性.

“奇、偶函数”概念的本质属性有两个侧面：“形”的特征和“数”的表示.前者表现为图形特征的描述，即关于y 轴对称（或原点对称）；后者表现为函数性质的形式化表示，即f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））.函数奇偶性的形式化实质上体现了数学概念抽象性的特征，因而具有一定的难度.笔者设计了函数求值作为教学起点，这样比用函数图像引入更有利于学生从具体函数中归纳和抽象一般的代数形式的性质结论.另外，笔者以为，函数性质是函数内在的固有的规律，函数图像是函数性质的外在显现，通过函数图像归纳性质固然是直观性更好一点，但由于课堂教学中函数图像的获得正是运用函数性质结合描点法得到的，这样，通过图像发现性质就有点陷入循环论证的嫌疑.所以，笔者通过函数求值，把函数值外显到坐标系中，再通过图像印证性质，实现由数到形，再由形到数，力图使概念抽象的过程更自然，使学生对概念内涵的把握更深刻全面.

三、对数学概念教学的反思

当前中学数学概念教学的现状是：一方面，由于许多老师对数学概念存在“不准”、“不精”、“不简”的问题，同时受“应试教育”的影响，对数学概念教学不重视，造成数学概念教学搞“一个定义，三个注意”.另一方面，部分重视数学概念教学的老师只在如何理解概念的内涵、本质属性、数学推理上下功夫，忽视了数学概念的来龙去脉，忽视了数学概念的历史演变.基于此，在数学概念教学中，恰当引入数学史，同时考虑数学史实和概念本质属性两方面因素来设计概念教学的过程，使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”，不仅可以解决数学概念教学中“逻辑上的为什么”，还可以解决“历史上的为什么”.