“任意角的三角函数”概念教学的分析与建议

☉江苏省南京市秦淮中学 孙帮兰

“任意角的三角函数”是高中数学的教学内容，其概念也是高中数学需要掌握的核心概念之一，学习和掌握任意角的三角函数对于后续三角函数关系的推导、三角函数图像和性质的研究有着重要的影响，同时也是学习参数方程、平面向量等知识的基础，因此该章节的知识内容具有极高的承接性，下面开展教学探讨.

一、合理引入问题，把握知识生成点

“任意角的三角函数”内容是对初中数学锐角三角函数相关知识的深度拓展，因此课堂教学开展应以学生已掌握的直角三角形边长比值、锐角三角函数作为起点，通过概念的同化及知识的衍生来完成构建.在课堂教学伊始十分有必要引导学生回顾已学知识，充分唤醒学生的知识记忆，利用学生熟悉的数学知识完成教学的过渡.

利用锐角三角函数知识开展教学引入，可以进行如下设置：首先让学生回忆初中阶段学习的特殊角的三角函数值，例如30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值，然后让学生思考这些角的三角函数值是如何求出的，最后利用几何画板绘制出一个锐角α，让学生思考如何求出sinα、cosα和tanα的近似值，或者让学生进行小组讨论，在白纸上给出相应的计算方案.

图1

图2

学生结合已有的知识基础很容易想到对于锐角α，可以通过作垂线构建直角三角形的方式来完成，而，如图1所示.此时则需要教师通过启发设问的方式引导学生进一步思考，并向本节的教学内容靠拢，即思考图中利用直角三角形边长比值的方式求三角函数是否与所作图形上点的位置有关，从而引导学生引入直角坐标系，将点P的位置坐标化.以锐角α的顶点作为坐标原点，以角α一边所在直线作为x轴，构建如图2所示的直角坐标系.设点P的坐标为（x，y），其到原点O的距离为r，然后让学生思考是否可以用点P的坐标来表示角α的三角函数，以及改变点P的位置是否会影响角α的三角函数值.

利用直角坐标系很容易引导学生完成对角α的三角函数关系的构建，同时深刻理解锐角固定时，三角函数值与角终边上点的位置无关，只与终边上点的坐标比值有关.而在后续的教学中需要教师引入函数的概念，使学生充分认识到对于sinα，可将其视为一个函数，而自变量就为角α，函数值即为因变量.同时需要引导学生关注锐角三角函数的定义域，即α的取值范围为，并让学生关注角的表示方法，可以直接使用角度，也可以使用弧度制，掌握两者之间的换算方法.必要时可以采用列表对应的方式，从函数定义的角度来定义锐角三角函数，进而完成课堂教学的基础铺垫.

二、调动学生思考，重视知识本质揭示

从数学概念本身来看，其内容相对来说较为抽象，学生在理解时存在一定的困难，比如，若不能引导学生充分认识概念的本质，学生很容易陷入思维误区，从而难以达到学以致用的效果，这也违背了中学数学教学理念.因此，在课堂教学中教师需要引导学生参与概念的定义过程，理解概念背后的本质内容.

本节重点是教学任意角的三角函数概念，采用知识推广拓展的方式，使其更有利于学生理解知识的本质内涵，即在锐角三角函数的基础上生成新的概念，让学生理解锐角只是任意角的一个特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的进一步推广.教学中可以采用象限变换、角边旋转的方式，即首先让学生思考角α为锐角时其终边OP所在的象限，然后进一步思考若终边OP不再位于第一象限时应如何定义角α和sinα，同时思考角的终边OP 在坐标系中旋转的范围及角α 的取值范围，如图3 所示.该过程中学生通过思考会发现无法用求解锐角三角函数的方式来构建任意角的三角函数.此时需要教师引导学生关注之前构建直角坐标系的方法，体会运用坐标定义三角函数的合理性，同样在分析任意角时利用直角坐标系，进而引入单位圆，如图4所示.利用单位圆的特殊性及点P的坐标，采用类比的方式来获得角α对应的三角函数：sinα=y，cosα=x，tanα=，从而完成对任意角的三角函数定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点P 的坐标为（x，y），它到原点O 的距离为r（r=＞0），那么就存在如下关系……

图3

图4

外推概念是与原概念或原理相一致的问题，因此必然具有同样的合理性，教学中教师应适度把握概念外推，从而可以有效地完成对新知的定义.同时在教学过程中让学生主动参与、积极思考，分析任意角的三角函数定义的合理性，强化学生理解新知，发展学生思维.需要注意的是：学生在参与概念定义的过程中要合理安排思考内容，充分利用直观图形道具，使知识的推广过程动态化.

三、应用深化概念，注重思维水平的发展

对概念的深化理解是概念教学过程中十分重要的环节，在该环节中需要帮助学生内化吸收概念，使学生能够应用概念来解决相应的问题.而深化概念较为有效的方式是对概念的简单应用.对于任意角的三角函数内容，在概念定义完成后可以采用特殊角及变式计算结合的方式.

在应用概念计算之前有必要重申任意角α的取值范围，即α∈（0，2π），然后选取一些较为特殊的角，让学生计算对应的三角函数值，并交流计算的方法和过程，例如特殊角，并完成表1的填写.

表1 任意特殊角的三角函数

学生在计算特殊角的三角函数值时可能会出现直接使用计算器的情况，而忽视了上述生成的概念.虽然计算器也可以获得对应的答案，但这样的计算方式是没有意义的，更不利于概念应用的强化，因此需要教师利用概念生成的过程重构特殊角的模型，然后按照如下思路引导学生解题：先求出角的终边与单位圆的交点坐标，再根据定义来完成角对应的三角函数的构建和计算.以这样的方式实现任意角的三角函数计算的算法化和程序化，从而降低三角函数问题求解的思维难度.

在完成特殊角计算后可以进一步给出任意角的三角函数计算的变式问题，即不再给出角α的具体大小，而是定义角α终边上经过一点的坐标或终边所在直线的解析式，然后让学生利用上述生成的程序化算法计算角α对应的三角函数值，例如给出如下问题.

变式问题1：已知角α的终边经过点P，点P的坐标为（2a，3a）（a＞0），试求角α的三角函数值.

变式问题2：已知角α的终边与直线y=3x重合，试求角α的三角函数值.

显然上述问题与直接给出特殊角来求三角函数值的问题不同，但学生利用总结的算法很容易找到解决问题的思路，这样的变式有利于培养学生思维的灵活性.而在求解变式问题1时，在教学过程中可以引导学生思考如下问题：若没有限定参数a的符号，又该如何计算呢？教学时可以引导学生采用如下思路来分析：分类讨论a的符号→确定点P所在的象限→构建求解角α的模型→转化三角函数式.采用分类讨论设问的方式不仅可以帮助学生掌握分类讨论的解题方法，同时还可以提升学生思维的逻辑性和严密性，而思维双重特性的提升对于发展学生的数学思维是十分有利的.

总之，对于“任意角的三角函数”概念教学，需要教师尊重学生的认知水平，关注知识的衍生过程，合理设置预设；在定义概念时，需要教师设置具有启发性的问题，充分调动学生参与思考，体会概念生成的过程；采用应用强化、思想渗透的方式帮助学生内化概念，发展学生的思维，使学生获得知识和能力的双重提高.