立足知识构建，突出素养提升
——以解析几何复习为例

☉江苏省如皋市搬经中学 季小明

解析几何是高考考查的热点，也是高中数学的重点，学得困难、练得痛苦，这是解析几何学习的现状.找准复习的目标，构建知识体系、提升数学素养，是高三复习的重中之重.那么，如何构建知识体系，是高三复习的首要任务，解析几何从代数角度如何优化计算，从几何角度如何等价转换都是知识体系梳理和构建不可或缺的环节.提升学生的几何素养，也是高中数学学习的关键任务，从而架起学生从抽象的代数到直观的几何之间的桥梁.这就是高三解析几何复习课的生态：构建知识，提升素养.

我们从一道江苏高考题来寻找高三解析几何复习的知识构建和素养提升的突破口.

一、真题再现

例1（2018 年江苏卷12 题）在平面直角坐标系xOy中，A 为直线l：y=2x 上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若，则点A 的横坐标为______.

思路分析2：由，得△ABD 为等腰三角形，再由直径所对圆周角为直角，得△ABD 为等腰直角三角形.故垂直且模相等.设A（a，2a），D（d，2d），其中a＞0，且d≠a，有解得或（a＜0，舍去）.所以a=3.

解后反思：思路1 利用直线与圆联立方程组，通过代数法求解；思路2 分析几何图形的性质，对条件进行转化、优化，然后借助向量求解.两种方法从不同角度考查了学生对解析几何常见处理方法的熟练程度，也为高三复习指明了方向.

二、模拟题再思考

例2（2019 年苏州期初调研14 题）已知圆C 的方程为（x-3）2+（y-2）2=r2（r＞0），若直线3x+y=3 上存在一点P，在圆C 上总存在不同的两点M，N，使得M 是线段PN的中点，则圆C 的半径r 的取值范围是______.

解法1：设点P（m，n），N（x，y），则将M，N 分别代入圆C 的方程得

因为这个关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以（2r-r）2≤（3-6+m）2+（2-4+n）2≤（2r+r）2.

又3m+n=3，所以r2≤10m2-12m+10≤9r2有解，得9r2≥

解法2：如图1，连接PC 并延长，依次交圆于点E，F，由切割线定理，知PE·PF=PM·PN.而PE=PC-r，PF=PC+r，所以有PC2-r2=PM·PN.又M 是线段PN 的中点，所以PC2-r2=2MN2.

图1

M，N 是圆上的任意两点，则0＜MN≤2r，即0＜PC2-r2≤8r2.设P（x，y），得0＜（x-3）2+（y-2）2-r2≤8r2，即r2＜（x-3）2+（y-2）2≤9r2.点P 既在这个圆环内，又在直线3x+y-3=0 上，所以直线与圆有交点，则，解得

如果说将“仙台神话”揭示出来会损害其意义，那么我们首先就应当询问：究竟什么是这一神话的意义？作为神话的源头，鲁迅的文本自有其意义。但这些文本的意义是否能够代表围绕这些文本所进行的所有文化生产的意义？连篇累牍的复述、重写等行为有没有创造出属于自己的价值？

解法3：如图2，取M，N 的中点D，连接CD，CM，CP，设CD=d，MD=x，则PM=2x，CM=r，且CD⊥MN.

图2

三、解析几何复习再分析

高考复习最忌讳的就是知识体系构建不完整、能力提升不彻底，但又不能仅是表象地讲授知识概念，抽象地谈数学素养，而应该通过高考真题和经典的模拟题来实现高考复习的预期目标.因为数学知识的构建往往是通过典型例题的分析和研究来梳理，而数学素养也常在解题过程的梳理中不断提到提升.

1.立足知识构建

解析几何存在的问题是把条件中的数和形孤立思考，从而形不成完整的知识体系，导致在思考时总是单线思维，不能全方位、多角度地分析问题.所以复习解析几何要用两条腿走路，数形结合，缺一不可.

（1）见形找数，增强问题的逻辑性.

代数法的训练看似入口宽松，但往往深陷其中，所以解析几何中蕴藏的复习价值是不可多得的机遇.首先，每一个代数式所表达的含义要进一步挖掘，找准式子背后的逻辑关系是重点；其次，简化和优化计算过程要进一步研究，积累计算经验、掌握计算技巧是难点.

代数是几何图形最精确的体现，计算能力也是高中数学学习的重要指标，我们要培养学生的算理分析，优化运算流程.

（2）以数化形，寻找转化的直观性.

直观的几何图形、关键的几何性质能快速地反馈为代数关系，再进行必要的等价转化，就能突破解题的瓶颈.图形是代数最直观的转化，只要对图形进行深入的分析，对已知条件进行到位的剖析，就能揭示问题的本质，将有关数字信息进行有效的转化，从而简化运算.

2.突出素养提升

素养的提升不能只挂在嘴上，而要渗透到平时的课堂教学中去.解析几何所培养的直观想象、数学运算这两大核心素养都是数学学习的基本功，是解决问题的工具.我们不仅要通过复习让学生掌握这些知识工具，更要让他们在学习中内化为自身的能力，学会发现问题、总结问题，并利用所学知识去解决新问题.所以，我们在高考复习中要紧紧抓住素养提升的三个关键词.

（1）说数学.

说数学，一方面，教师课堂开辟时间让学生说，这既能暴露学生对基础知识的掌握程度，又能反馈知识网络构建的状况，更便于教师了解问题发生的根源；另一方面，学习小组内主动帮扶讲解给同学听，能够加深对知识的理解，也能说出思维的发展过程，是对解题的再思考，有利于自身的突破和同学的理解接受.高效的复习应是眼到、口到、手到、心到，如果课堂不给学生开口的机会，那我们将缺少发现问题的机会，也将使整个课堂显得沉闷低效，所以我校的“学习中心课堂”就是要打开学习中心课堂的快速通道，还给学习中心课堂的发展空间，搭建学习中心课堂的交流平台.

（2）做数学.

做数学，就是精确地、清晰地、规范地写好每一题的解答过程，既追求速度，也追求正确率，确保会做的题拿满分.这就需要课堂教学留白，有些是教师所不能代劳的，特别是计算，只有学生亲身体验，才能发现问题、积累经验.另外，学生的成功来源于教师的正确指导和标准示范，因此，教师要特别重视集体备课之后的二次备课，精准做题，真正做到引领到位、率先垂范.

（3）写数学.

写数学，一写“思维导图”，二写“错悟本”，三写“数学小日记”.著名数学家弗赖登塔尔指出：“必须教学生学会反思，只有这样，才能使学生意识到自身行为后面潜藏的实质.”“思维导图”是实用的思维工具，它可以让我们清晰地分析每道题的解决方向，不断试探，有较强的灵活性；“错悟本”是学生纠错的必备工具，感悟是高效反思的关键；“数学小日记”是数学素养提升、能力提高的优秀平台，不仅可以提高分析问题、解决问题的能力，更会培养发现问题、研究问题的能力.

高三不是学习的终点，而应该是成长的新起点.高三复习中，我们不仅要重视知识的学习，也要重视素养的提升，从而真正实现数学教学的育人目标.