问题串设计策略的案例与分析

☉江苏省海门中学 姜璐璐

具备内在联系、一定的知识覆盖面、难易适度的变式串训练能有效帮助学生理解基本知识、掌握基本技能、提升解题能力.设计、运用问题串实际上就是将学生推至解决问题的前沿并引导其进行分析、对比、思考和探索.教师应设计出与学生已有生活经验、知识经验相关的问题串并因此激发学生强烈的求知欲，将问题化大为小、化抽象为具体，并使学生在具体化的目标的引领下重组或深度加工问题信息，挖掘问题本质并探索解题的策略，使学生在一系列“新”问题的解决中获得思维能力的提高.

一、设计问题串的原则

（1）适宜性.教师设计问题串时应考虑到学生的一般认知规律和身心发展规律，设计出学生思维最近发展区内的问题，使学生在具有一定陌生感的问题中探索和收获.

（2）递进性.问题之间具有层层递进的关系才能推进学生逐步深入的思考和探索.

（3）指向性.围绕目标设定的一系列问题能使学生在指引性的探索中获得成功的自主建构.

（4）自然性.过于生硬的问题会使学生感觉琢磨不透且无法展开思索.

二、设计策略

1.围绕教学目标进行设计

案例1：引入等比数列定义的问题串设计.

问题1：如何用现代语言描述“一尺之锤，日取其半，万世不竭”这句话呢？假如将“一尺之锤”看作单位“1”，大家从“日取其半”这句话中是否能够得出一个数列？这是什么数列？

设计意图：引导学生从文字描述中发现等比关系.

师生活动：教师启发学生发现等比关系，并写出数列.

问题2：若将一张白纸一而再、再而三地进行对折，大家能依次写出该张白纸对折后的厚度吗？

设计意图：引导学生进一步发现等比关系.

师生活动：要求学生进行对折白纸操作并发现其中的规律，并写出数列.

问题3：若某计算机病毒正在传播之中，每轮被感染病毒的计算机台数的数列又该如何列出呢？

设计意图：引导学生发现等比关系，并写出数列.

师生活动：启发学生发现等比关系并引导学生根据规律写出数列.

问题4：观察数列并分析其规律，大家能否类比等差数列说说其共同特征？

设计意图：启发学生发现等比关系并得出等比数列的定义.

师生活动：观察所得数列并对其共同特征进行讨论，类比等差数列得出等比数列的概念.

2.根据学生认知水平进行设计

案例2：关于求解函数的最小值的解法串.

解法1（求导函数法）：，当x=2 时，y′=0.

当1＜x＜2 时，y′＜0；当x＞2 时，y′＞0.

所以当x=2 时，函数有最小值8.

解法2（基本不等式法）：

3.激发学生参与设计

案例3：引入二项式定理的问题串设计.

问题1：乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后一共有多少项？

生1：3×3×5 项.

师：怎么想的？

生1：从各括号中各取一个字母并构成项，各括号之内的项数之积即为问题所要求的答案.

变式：（a+b）n展开后的项数共是多少？

全体学生：2n.

问 题2：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，此处展开与之前的项数并不相等，为什么？

合并前几项还是后几项是问题中并未明确的，明确合并后几项吗？

问题3：（a+b）4=？谁来算一下？

可否用更加理性的思维来展开（a+b）n并发现其中的规律呢？

师：大家是否能在项的次数上发现什么规律？项的数量如何？系数怎样？

首先我们来看次数.

（a+b）2=a2+2ab+b2，这是齐二次.

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，这是齐三次.

问题4：（a+b）n展开后即为齐n 次，怎样理解齐n 次呢？

生3：各括号中取一个字母，n 个字母相乘即为n次.

再看项数.

（a+b）2=a2+2ab+b23 项

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b34 项

问题5：（a+b）n展开后是n+1 项，为什么呢？

生4：观察可得项的字母b 的次数为0，1，…，n，共n+1 项.

最后我们再看系数.

（a+b）n=（？）an+（？）an-1b+（？）an-2b2+…+（？）abn-1+（？）bn.

变 式：（a+b）3=a3+a2b+ba2+ab2+ba2+ab2+ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，合并前有8 项，合并后有4 项，“3”的含义何在呢？

生5：合并后的系数与合并前同类项的个数相对应，由此可得：系数即为同类项的个数.

（a+b）n=（a+b）（a+b）（a+b）…（a+b）.

因此an-kbk的系数应与其同类项个数相等，展开（a+b）n，合并后an-kbk的系数和合并前an-kbk的同类项的个数是相等的，即为从n 个（a+b）中取k 个b 的个数.

问题6：从n 个括号中取的b 的个数是多少？

全体学生：k 个.

变式：有多少个同类项？

教师板书各项系数.

…

4.根据一定难度的向量进行设计

案例4：平面向量数量积运算中的变式问题串的设计.

问题：已知等边△ABC，其边长是1，平面内一点M 满足，试求

图1