多元表征理论的实践与探索
——以数列教学为例

☉江苏省常熟市梅李高级中学 周志杰

所谓表征，就是指外界输入的信息在主体心理活动中的记录和作用形式，学习实质上就是学生对于知识这一外界输入产生对应心理表征的过程，是一个主观与客观结合的过程.本文中笔者将结合自身的教学实践经验，以数列的概念和表示方法相关内容的教学为例，与各位读者分享自己在多元表征理论的指导下开展教学的方法策略与心得体会.

一、多元表征理论的内涵及教育价值

所谓表征，就是指外界输入的信息在主体心理活动中的记录和作用形式，即外界事物的心理重现，是认知心理学中的一个非常重要的概念，它是人的内在心理世界与外部客观世界的有机融合产物，一方面，能够反映客观事物的特征；另一方面，体现了心理过程的加工作用.教师需要认识到，学生不是计算机，不能将知识完全一致地记录下来，学习实质上就是学生对于知识这一外界输入产生对应心理表征的过程，是一个主观与客观结合的过程，教师可以做的是设计信息输入的方式，以及引导学生产生正确的心理表征.因为数学概念的心理表征往往包含着不同方面的成分，具有鲜明且丰富的层次性，教师只有注意到其多元性，从多种角度进行教学，而不是片面强调单一特征，学生才能更为深刻并全面地认识数学概念，才能在应用时更加灵活.

由于强调了学生的心理活动在学习过程中的作用，所以多元表征理论突出了学生的主体性，它指导教师从学生的角度去思考问题，以适应于学生思维和认知特点的方式展开教学，并给学生自主探索和感悟的机会，教师应尝试利用图、表、表达式等各种表现形式让学生体会到数学概念表现形式的多样性，创设更加多元丰富的教学情境，从不同角度刺激学生的思维，激发学生自主探索数学世界的欲望.

二、让学生在实例中感悟数列概念的基本特征

在正式介绍数列的概念之前，笔者先筛选出了大量实例帮助学生对概念的特征有一个初步的感知，学生在观察和研究实例的过程中得以产生内生式的认知，这有利于激发学生的探索欲望和研究兴趣，能够锻炼学生的观察和总结能力，同时可以增强学生的课堂参与度，为学生留下了自由探索的空间，从而突出了学习过程中学生的主体地位，下面是笔者当时的教学片段.

1.实例引入

案例1儒家名著《庄子》中有一段话的意思是：对于一根长为一尺的木棍，如果每天取走剩下部分的一半，将永远也取不净.如果将一尺作为单位长度1，那么按照这段话的意思，每日剩余部分的长度将会是

案例2三角形数是一类神奇的数，如果某一数目的点能够在等距离排列的情况下组成一个等边三角形，那么这一数目就是三角形数，从初始情况开始列举，它们是1，3，6，10，……

案例3从1984 年洛杉矶奥运会到2016 年里约奥运会，一共举办了九次奥运会，中国在这九次奥运会中获得的金牌数目分别是15，5，16，16，28，32，51，37，26.

案例4无理数按1，0.1，0.01，0.001，……的精度分别取值的结果为1，1.4，1.41，1.414，……

2.师生互动

师：上面给出了不同背景下的四组数字，你们能不能概括一下它们的共同点？

生A：它们都具有一定的规律性，比如案例1 中的数字，后一个数字是前一个数字的一半.

生B：不对，第三组数字感觉没什么规律.

师：那么生A，你能解释一下你说的规律性具体是什么含义吗？

生A：刚才可能观察得还不够到位，我觉得有规律性概括来说，就是可以见微知著，我们只需要知道前几个数字就可以推断出后几个数字是多少.

师：那么生B，你觉得第三组数字没有规律可言，这又是为什么呢？

生B：我认同生A 的说法，在第三组数字中我们没办法根据前面的数字推断出后面的，因为如果是这样的话，我们岂不是可以预知未来？推断出2020 年甚至100年后的获奖情况？

师：很好，那么如果说规律性并不是这些数字的共同特征，你们能再概括一下这些数字的共性吗？试着从次序的角度考虑一下，比如说如果调换每组数字里某些数字的顺序，这组数字还能表达同样的意思吗？

生C：不可以随意调换，比如在第三个例子中如果把第一个数字和第二个数字交换顺序，那么代表的意思就完全不一样了.

师：的确，其实我们就可以把数列看成是一列有顺序的数，那么你们觉得1，3，5，7 和1，5，7，3 是数列吗？它们是同一个数列吗？

生D：这两者都是数列，但是它们数字的顺序不一样，所以不是同一数列.

师：没错，这个例子说明就算两个数列中的元素一样，但只要排列顺序不一样，它们就不是同一个数列.那么1，1，1，1 和1，-1，1，-1 是数列吗？

生E：一列有顺序的数，它们满足数列的定义，所以是.

师：由此也可以推断出在同一数列中可以出现重复的数字.

3.教学总结

学生在刚开始学习新知识的时候，教师提供的例题具有很强的引导作用，在多元表征理论的指导下，教师需要精心选择涉及的例题，使得例题能从多方面刺激学生的认知，比如，在上述教学案例中，笔者就综合选择了有规律的数列、无规律的数列、有重复数字出现的数列、有限的数列和无限的数列等例子，让学生在冲突和反思中逐渐弄清数列的本质内涵.

三、用多种形式表现数列，深化学生对数列概念的理解

数列是一列有顺序的数，一般来说，它的表现形式也是一列数，但是在部分实际应用中，学生仅通过这样的形式很难灵活地进行思维转换，因此教师应该尝试让学生接触数列的多种表现形式.

教学情境

师：数列的一般表现形式是一列数，可以简写为{an}，它精简地表达出了数列的内涵，但对于某一具体的数列，简单的罗列并不是最佳的表现形式，你们还能给出其他的表现形式吗？（接下来让学生通过分组讨论的形式进行自主探讨，最后以小组为单位进行展示分享）

学生经过初步讨论得出了以下两种结果.

师：这两种方法都是好办法，第一种方法非常直观地展现了数列中项的分布情况，第二种方法清晰地展现了数列序号与项的对应关系，但是老师觉得这两者都有一定的不足，你们能说说看吗？

生F：第一种方法虽然直观形象但其实并不准确，因为它无法体现数列的顺序性，0，2，4，6，8 和8，6，4，2，0这两个不同的数列按照这种方法的表现形式却是一样的，至于第二种方法要说不足的话，可能是它相对来说没有那么直观吧.

师：很好，既然如此，我们可以试着将两种方法结合起来吗？

生G（经过思考）：我们可以在第一种方法的基础上增加一个维度来表示数列的序号，变成一个平面直角坐标系.

师：很好，那么你们能尝试作出数列2，4，6，8 对应的图像吗？

学生的成果如图1：

图1

师：非常棒，那么观察图像，你们觉得它和我们之前学习过的知识有没有相似之处呢？

生H：这有点像函数的图像，但是这个图像都是分散的点，函数的图像是曲线.

生I：其实如果把函数的定义域限定在分散的区域，那么函数的表现形式也是这样，比如，我们可以令定义域为N*.

师：那你们可以建立一个函数关系式吗？并指出这个函数的自变量和因变量分别是什么.

生J：这个函数应该是an=2n（n∈N*），这个函数中的自变量应该是数列的序号n，因变量是对应的数列项的值.

学生在这样的过程中接触到了表、图、数学表达式等多种数列的表现形式，从而形成了各种不同的心理表征并在它们之间建立了联系，这可以帮助学生在不同的情景下灵活地应用数列的知识.