雄关漫道真如铁，而今迈步从头越
——2019年天津卷理科第13题最值的破解

☉南京市大厂高级中学 孙小芳

在近年的高考中，经常会碰到双变元或多变元的代数式的最值或取值范围的求解问题.此类问题变化多端，背景形式多样，难度也比较大，破解方法有时也多种多样.下面结合2019年高考天津卷理科第13题有关双变元代数式的最值问题的求解加以实例剖析，结合多维角度切入，多点开花，达到殊途同归、自然破解.

一、真题在线

【高考真题】（2019年天津卷理13）设x＞0，y＞0，x+2y=5，则的最小值为______.

本题条件简单，通过两个正数所满足的定值条件，进而巧妙地把分式、根号等形式有机融合到对应的代数式中，从而确定相应代数式的最小值.关键是如何在已知条件下，通过认真审视试题，合理巧妙变换，在不同视角下，得到该题的不同解题思维与对应的精彩解法.

二、一题多解

思维角度1.基本不等式法

点评：直接对代数式进行恒等转化或对代数式平方转化处理，进而在所转化的关系式的基础上，借助基本不等式的应用来确定相应的最小值，这是破解此类问题比较常见的思维方式.其关键就是对代数式进行有效转化，使之所转化的关系式可以满足利用基本不等式的条件，为进一步利用基本不等式确定最值提供条件.

思维角度2.换元法

点评：结合对应代数式的特征，借助双变元或单变元进行换元处理，再对新换元的参数所对应的代数式进行有效恒等变换，从而利用基本不等式的应用来确定相应的最小值.借助换元法处理，有时可以有效转化目标，使得一些较为复杂或不易直接利用基本不等式的问题得以有效转化，从而达到巧妙处理的目的.

思维角度3.方程法

点评：构造对应代数式的值为t，通过转化变形得到二次方程，利用关于参数的二次方程有解，结合方程的判别式法加以转化与应用，通过求解二次不等式并借助题目中代数式的值为正的特征来确定相应的取值范围，进而得以确定相应的最小值.

三、变式拓展

【变式1】（2019年天津卷文13）设x＞0，y＞0，x+2y=4，则的最小值为______.

四、解后反思

解决此类涉及双变元或多变元的代数式在限制条件下的取值范围或最值问题，关键是通过双变元或多变元关系的等价转化，可以采取代数式本身的有效变形，可以采取引入参数来换元转化，可以借助函数或方程思想来转化处理，还可以结合关系式的几何意义或相关信息加以数形结合、知识迁移等，都能得以有效破解.而对于求解双变元或多变元的代数式时，所采取的切入点各异，求解方法也多样，特别要注意的是确定双变元或多变元代数式的最值（最大值或最小值），以及在端点处的值是否可以取得，这也是解决此类问题是否成功的关键点所在.