探析数学思想在圆锥曲线问题中的应用

☉湖北省通山县第一中学 黄崇楹

虽数学题目变幻无穷，但数学思想方法相对不变.在圆锥曲线与方程这一部分内容中，运用相关数学思想进行解题，往往会收到出其不意的效果，以下联系几则实例进行剖析，以期对学生解题能有一定的启发.

一、数形结合思想

数形结合在求解圆锥曲线问题中主要体现在以下两个方面：一是通过“数”的精准性呈现“形”的某一属性；二是通过“形”的几何特性来呈现“数”之间的某一种关系.

例1已知圆的曲线方程M：，是一定点，在圆M 上有一动点P，点Q 和G分别在NP、MP 上，且满足，请尝试求点G 的轨迹方程.

解析：如图1，由，，得Q 为NP 的中点且GQ⊥PN，所以GQ为NP的中垂线.因此，从而因此，点G 的轨迹是长半轴长a=3，焦点为M、N的椭圆.故点G的轨迹方程是=1（y≠0）.

图1

点评：因本题条件繁多，假设通过转移法（或相关点法）求解点G 的轨迹方程，相对过程较为繁杂，且易出现一些错误，借助数形结合的思想进行处理，显而易见，直观简洁，事半功倍.

二、函数与方程思想

曲线的方程和方程的曲线有着天然的联系，曲线方程也可适当变形，变成函数.曲线和方程，方程和函数，三者之间的合理转化，便可将有关曲线问题“演绎”成二元二次方程组的问题、一元二次方程根与系数的关系问题、一元二次函数的最值问题等.

例2已知椭圆（a＞b＞0）的长轴长为4，右顶点为A，在椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求短轴长的取值范围.

点评：将b2用x0的函数来表示，然后，由0＜x0＜2 可以求得该函数的值域，函数与方程思想体现得淋漓尽致.另外，x0也可以表示成b2的函数，于是原问题就变成了一个关于b2的不等式，再求之.我们还可利用方程③的根的分布：一个根为2，另一个根位于区间（0，2）内，将其转化为根的分布问题也可让问题轻松获解.总之，方程及函数思想方法是解决圆锥曲线相关问题的一条有效路径.

三、分类讨论思想

在圆锥曲线问题中，常常会出现第三个量，即参数，采用分类讨论的策略是一条有效的路径.分类讨论，并非无章可循，有时按圆锥曲线的类型分类，有时按联立方程后方程的解的情形分类，但无论是哪种分类，必须缜密严谨做到有理有据、不重不漏.

例3当m 变化时，讨论方程mx2+（2-m）y2=1 表示曲线的形状.

解析：（1）当m＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；

（4）当m=1 时，方程表示圆x2+y2=1；

点评：数学解题，应以概念、公式、定理、法则等为准则，而这些数学中的要素往往相互制约，牵一发而动全身，所以必须分类讨论.本题由于m 取不同的值会导致曲线的类型有异，所以必须将其全面讨论，虽然略显烦琐，但体现了数学的严密性.

四、化归思想

化归，其实就是等价转化，将要解决的新问题转化为已经解决的老问题.如何转化，我们必须对问题进行全面分析，将它与已经学习的知识相联系，方程向图形转化、动点向不动点转化、实际问题通过建模向数学问题转化……总而言之，转化就是化新为旧，化生为熟，化繁为简，化未知为已知，化出数学解题新天地.

例4已知椭圆C 的方程是，试确定m 的取值范围，使得对直线l：y=4x+m，椭圆C 上有不同的两点P、Q 关于该直线对称.

解法1：设椭圆C 上关于直线l 对称的两点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其所在直线方程为，代入椭圆方程3x2+4y2=12，整理得13x2-8bx+16b2-48=0.

解法2：设PQ 的中点坐标为M（x0，y0），由解法1 知消去y0，把代入可得，所以x0=-m.

由于中点M的位置介于P，Q之间，所以必有不等关系（x1-x0）（x2-x0）＜0，由此可得.经验证，当.适合条件的P、Q 存在，所以.故所求m的取值范围为

点评：解法1体现了解析几何问题常用的对称思想，数形结合是根本；解法2 体现了解析几何问题常用的不等式思想，建立方程组是关键.从两种不同的方法中可以看出，思考问题的角度不同，会得到不同的方法，两法难易不同，各有千秋，每一种方法都体现了转化与化归的数学思想.

总之，数学思想能使学生从本质上认识数学知识与方法，是学生形成良好认识的结构纽带，也是学生将知识转化成为能力与素养的桥梁，因此，在日常数学活动中，学生务必要高度重视数学思想方法的习得.