基于题目特征，合理选择证明方法

☉江苏省新海高级中学 陆习晓

数学命题的真假，离不开证明.数学证明的基本方法主要有两类：直接证明法与间接证明法.数学命题大多用直接证法，当直接证明遇到困难时，就采用间接证法（主要是反证法）.所谓直接证明，就是从已知条件出发，并运用有关定理、定义和性质等加以逻辑推理，以证明结论的真实性；而间接证明刚好与之相反，从命题结论的反面出发，经过严格而又正确的推理，推出一个矛盾来，以此说明结论的错误性，即原结论的正确性.反证法的原理体现了原命题与它的逆否命题真假的一致性.

一、“由因导果”——综合法

有些命题，条件与结论之间的关系比较容易发现，推理思路也较为清晰，对于这样的命题宜采用综合法，如立体几何中常见的证明问题、三角恒等式的证明等问题.

根据已知条件，并以有关的定义、公理、定理和性质为理论依据，采用逻辑推理的方法，层层推进，一直推到需证明的结论为止，这就是综合法.它的一般步骤如下：P0（已知）⇒P1⇒P2⇒…⇒Q（结论）.在采用综合法证明时，需注意：要从该命题的前提出发，选定真实无误且无可争辩的出发点，再由此依次得出相关的命题与判断，要求命题与判断都是真实的，而最后一个命题或判断必须包含我们需证明的命题的结论，这时命题才算获证.需指出的是，在证明时并不是一开始就能找到合理的思路，而是要在证明的过程中不断对每步结论斟酌与推敲、比较与选择，才能确定合理的思路.而积累解题经验、掌握基本证法，则有助于我们缩短探寻证明思路的路程.

例1如图1，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.设E 是DC 的中点，求证：D1E∥平面A1BD.

证法一：如图1，连接BE，则四边形DABE 为正方形.

所以BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1.

所以四边形A1D1EB 为平行四边形.

图1

所以D1E∥A1B.

又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

证法二：在图1中，连接AD1，AE，设AD1∩A1D=G，AE∩BD=F，连接GF，由题意知G 是A1D 的中点.

又E 是CD 的中点，所以四边形ABED 是正方形，故F 是AE 的中点.所以在△AED1中，GF∥D1E.

又GF⊂平面A1BD，D1E⊄平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

点评：对于综合法的应用，我们还需注意：①证明方向是否明确，推理过程是否合理与恰当；②在推理过程中，题目中的已知条件是否用上，推理过程是否缺损；③每一步推理得到的结论与判断是否真实可信.

二、“执果索因”——分析法

当用综合法证明命题时发生困难，觉得对已知条件不知从何入手，或者题目中给出的条件要么过于单一，要么太复杂烦琐时，就可换用分析法来证明.如有些不等式的证明往往用分析法十分有效.

那么，什么是分析法？就是从所需证明的结论出发逆推，逐步探寻使它成立的充分条件，最后推出一个恒成立的结论，这个结论可以是已知条件，也可以是相关的定理、定义、公理或公式等，这种证明方法也是三段论的推理形式，它的步骤是：Q（结论）⇐Q1⇐Q2⇐Q3⇐…⇐P0（条件或事实）.

对于某些证明问题，并不是一眼就看出应用分析法的，必须对题目的条件与需证明的结论进行分析.对推理过程中的每一步必须逐个考察，逐个思考，逐个分析，逐个判断，看每一步的逆推能否建立相互之间的等效关系.这样才可知道每一步的推理是否恰当，从而找到正确的证明思路.

例2设a、b、c为任意三角形的三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，试证：3S≤I2＜4S.

证明：因为I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）=a2+b2+c2+2S，

所以要证3S≤I2＜4S，

只需证3S≤a2+b2+c2+2S＜4S，

即S≤a2+b2+c2＜2S（这个结论与要证明的结论是等价的）.

要证上式的左侧，即证a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0，

即证（a2+b2-2ab）+（b2+c2-2bc）+（c2+a2-2ca）≥0（此式与前一式等价）.

要证上式成立，可证上式三括号中式子都非负（保证结论成立的充分性）.

由于a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，b2+c2-2bc=（b-c）2≥0，c2+a2-2ca=（c-a）2≥0，所以结论成立.

欲证上式右侧成立，即证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0，

即证（a2-ab-ac）+（b2-bc-ba）+（c2-ca-cb）＜0.

要证上式成立，可以先证上式三个括号中式子都小于零（保证结论成立的充分性），

即证a2＜ab+ac，b2＜bc+ba，c2＜ca+cb，即a＜b+c，b＜c+a，c＜a+b，显然它们都成立，理由是“三角形一边小于其他两边的和”.

故有3S≤I2＜4S 成立.

点评：本例源于教材的变式，具有较强的综合性.证明过程中的每一步都是在寻找命题成立的充分条件.而充分条件的寻找，有时也离不开综合法.所以，分析法与综合法是相对而言的，不是绝对分开的，分析法侧重于证明思路的寻找，而综合法侧重于证明过程的书写，因为对分析法的书写要求比较高，一般不建议采用.

三、“首尾并进”——分析综合法

分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”；综合法的特点是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.有些命题的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或两头凑法.它们之间互为前提、互相渗透，分析法是用来寻找思路的，综合法是用来叙述的，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.

例3设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若函数f（x+1）与f（x）的图像关于y 轴对称，求证为偶函数.

证明：要证为偶函数，只需证明其对称轴为x=0，即只需证，只要证a=-b 即可.

点评：①本题证明的前半部分用的是分析法，要证明结论成立，只需证明a=-b，后半部分用综合法证明了a=-b；②在用分析综合法证明时，可先分析再综合，也可以先综合后分析.

四、“推理——猜想”——数学归纳法

数学归纳法是一种证明与正整数的命题有关的方法，先证初始值成立，n=n0时命题成立，再假设当n=k（k≥n0）时命题成立，并利用这个假设的结论进一步证明当n=k+1（k≥n0）时命题也成立，由此得出原命题成立的结果.这也是一种演绎推理，主要用在等式的证明、不等式的证明、整除问题的证明、几何问题的证明等方面.

例4已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x＞-1 时，（1+x）m≥1+mx.

证明：（1）当m=1 时，原不等式成立；

当m=2 时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立.

（2）假设当m=k 时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx.

当m=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k·（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x.

所以当m=k+1 时，不等式也成立.

综合（1）（2）知，对一切正整数m，当x＞-1 时，（1+x）m≥1+mx 都成立.

点评：数学归纳法证明第二步至关重要.第一步是证明的基础，一般没有难度，而第二步的证明，必须用到假设m=k时成立的结论，没有用到这个结论的证明，不是数学归纳法.所以这一步的证明必须严格执行数学归纳法的“规章制度”.

总览近几年的高考命题，往往需要考生用分析法分析问题，再用综合法写出过程.而数学归纳法也是一种要求理科生掌握的重要方法，一般出现在数列问题的证明和组合数问题的证明中.在高考中，虽然直接应用反证法证明的题目较少，但反证法作为一种分析问题的重要方法，也时常出现在选择题或解答题中的某一小问.考查的方式多以解答题为主，同时结合其他知识点，进行综合考查.本文最后要指出的是，无论是哪一种方法，应用时必须从实际出发，选择最恰当的方法.会用、好用、用好才是硬道理.