高中数学解题代换法研究

☉江苏省如皋市第二中学 黄 荣

代换法，是高中数学解题的一种基本方法，对于一些复杂的问题，为了解决问题，我们通常采用转化题目中数量关系的手段，将一种问题转化为另一种问题来解决，起到化难为易的作用，这种代换法灵活多变，通常与其他解题方法相结合，巧妙出现在解题过程中.高中数学中有哪些代换法呢？本文加以研究，供大家参考.

一、代数问题与三角问题的代换

把已知条件中的三角关系式用代数式替换，有时往往能起到规避三角讨论的作用；而把已知条件中的某些代数式用三角式来代换，利用三角函数性质，有时也会给解题带来意想不到的快捷效果.

例1如果∀x∈R 和∀θ∈］都有（x+3+2sinθcosθ）2+（x+asinθ+acosθ）2≥成立，试求实数a 的取值范围.

解析：因为题目中同时出现sinθ+cosθ 和sinθcosθ，而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，于是想到换元法，将已知条件中的三角关系式用代数式替换.令t=sinθ+cosθ，则sinθcosθ=.因为］，所以

于是原不等式可化为（x+t2+2）2+（x+at）2≥，即2x2+2（t2+at+2）x+t4+（4+a2）t2+4-≥0.

因为上式∀x∈R 恒成立，所以Δ≤0，即（t2-at+2）2≥

点评：本题告诉我们，当已知条件中同时出现正弦与余弦的和（差）与积时，一般可利用代数代换转化为非三角函数问题.当然有些非三角函数问题，同样可以利用三角代换转化为三角函数问题，例如：实数x，y 满足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的最小值.本题可令x2+y2=S＞0，则有，代入x2-3xy+y2=2，可得S-3Ssinαcosα=2，即，以下略，请读者试一试，答案：

二、连续变量与离散变量的代换

在某些问题中，通过连续变量与离散变量的代换，将一个代数式代换成另一个含有相同字母的代数式，有时可以达到出奇制胜的解题效果，这种代换体现了数学解题思维的灵活性与多向性.

化简得b2c2+c2a2+a2b2≥abc（a+b+c）.

因为a，b，c∈R+，故≥abc.

点评：本题（1）是函数方程的一种解法，从已知函数方程出发，通过代换得到另一个函数方程，然后联立方程组得到所求函数；而本题（2）则从一个已知不等式出发，通过倒数代换，“变出”欲证不等式.可见这种代换的神奇功效.

三、二元对称代换与对偶代换

对于某些二元轮换式，可以尝试二元对称代换，或对偶代换，同样可以收到出奇制胜、快速解题的理想效果.这种方法常见于三角函数问题中，体现了同角三角函数关系式和三角恒等变换公式的灵活应用.

例3cos210°+cos250°-sin40°sin80°=______.

分析：本题通过降次与和差化积来求解，解题过程烦琐冗长.如果注意到sin40°=cos50°和sin80°=cos10°，而且代数式关于cos10°与cos50°对称，则可构造二元对称代换求解.

点评：本题基于抓住问题的本质，找到角与函数的联系，通过灵活构造，使原问题得到巧妙获解.这种解法体现了数学解题的创新性，能培养解题者的创新思维.

四、相似代换与等值代换

在解某些问题时，为了解题的需要我们往往把某些量替换成另外一种形式，如把n（n-1）替换成，2α 用（α+β）+（α-β）作等量代换.有时为了解题的方便也不一定是等量代换，而是相似代换，同样可以达到不凡的解题效果.

例4是否存在常数a、b、c 使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对任意n∈N*均成立？并证之.

与原式作对比得，当a=3，b=11，c=10 时，题中的等式对任意n∈N*成立.

点评：本题采用了等值代换的方法，将原数列求和问题转化为组合数求和问题，思维的难点在于找到n（n+1）2=这个恒等式并巧妙地利用组合数公式，解题过程体现了两个字：智与巧.有“智”方可生“巧”，从中可以看出，数学解题从某个角度来看，是培养人的智慧的有效途径.

五、部分代换与整体代换

对于某些分类讨论的问题和复合函数的问题，我们通常采用部分代换与整体代换来化解难点，化繁为简，使整个解题过程便于观察与分析，也可大大减少书写量.

例5已知f（x）=lg（1+x）-x 在［0，+∞）上递减，解关于x 的不等式

点评：本题采用了整体代换，将不等式中的某一部分看成一个整体，再将这个整体的取值范围求出来，最后再解关于这个整体中的x 的不等式，从本质上看就是将一个复杂的不等式变成两个简单的不等式来解，体现了数学解题化归思想中的化复杂为容易的原则.