集合与常用逻辑用语“错例点击”

☉江苏省灌云县第一中学 周井喜

对学生在学习集合与常用逻辑用语这一部分知识时，常犯的典型错误加以归类解析，以帮助学生理清错之根源，明确解题易错点，进一步提高解题的准确性.

类型一、忽视含参集合可能为“空集”，导致错误

例1设集合A={x｜x2+x-6=0}，B={x｜mx+1=0}，若A∩B=B，则实数m 的值为______.

错解：化简集合A={2，-3}，又A∩B=B，所以集合B={2}，或B={-3}，或B={2，-3}（显然不适合题意，舍去）.所以2m+1=0，或-3m+1=0，解得，或.故所求实数m 的值为

剖析：A∩B=B，即B⊆A，显然B=Ø也满足.据此可知，上述错解的根源在于没有考虑B=Ø（即对应方程无解）这种特殊情形.

正解：化简集合A={2，-3}，又A∩B=B，所以集合B=Ø，或B={2}，或B={-3}.所以方程mx+1=0 无解，或2m+1=0，或-3m+1=0，解得m=0，或，或.故所求实数m 的值为0 或

类型二、忽视对约束条件的“辩证”分析，导致错误

例2已知集合{b}={x｜ax2-4x+1=0}（a，b∈R），则a+b=（ ）.

错解：因为{b}={x｜ax2-4x+1=0}（a，b∈R），所以方程ax2-4x+1=0 有两个相等的实数根，均为b.

剖析：因为a∈R，所以集合中的约束条件ax2-4x+1=0 不一定是关于x 的一元二次方程（当a=0 时，为一元一次方程；当a≠0 时，为一元二次方程）.据此可知，上述错解的根源在于将方程ax2-4x+1=0 看作是关于x 的一元二次方程，缺少对a=0 这种特殊情况的分析，从而导致了错解.

正解：因为{b}={x｜ax2-4x+1=0}（a，b∈R），所以方程ax2-4x+1=0 有且只有一个实根b.当a=0 时，有-4b+1=0，解得，所以；当a≠0 时，有解得，所以.故所求a+b 的值为或.故选D.

类型三、忽视具体分析“等号”能否真正取到，导致错误

例3已知集合M={x｜0＜x＜4}，N={x｜x＜-1 或x＞2}，P={x｜m-1≤x≤m+1}，求分别满足下列条件的实数m 的取值范围：（1）P⊆RM；（2）N∩P=Ø；（3）M∪P=M.

错解：（1）因为RM={x｜x≤0 或x≥4}，P={x｜m-1≤x≤m+1}，所以借助数轴分析知，应使m+1＜0 或m-1＞4⇒m＜-1 或m＞5.

故所求实数m 的取值范围是（-∞，-1）∪（5，+∞）.

（2）借助数轴分析知，应使m-1＞-1 且m+1＜2⇒0＜m＜1.故所求实数m 的取值范围是（0，1）.

（3）因为M∪P=M，即P⊆M，所以借助数轴分析知，应使m-1≥0 且m+1≤4⇒1≤m≤3.故所求实数m 的取值范围是［1，3］.

剖析：根据集合之间的约束条件，探求参数满足的不等关系时，需要特别注意——具体考查不等关系中的“等号”是否能够真正取到；否则，极易出错.通过具体的考查判断，可知上述第（1）、（2）题的解析，借助数轴分析得到的不等关系中应该均有“等号”，而第（3）题应该没有“等号”.

正解：结合上述剖析易知：（1）所求实数m 的取值范围是（-∞，-1］∪［5，+∞）；（2）所求实数m 的取值范围是［0，1］；（3）所求实数m 的取值范围是（1，3）.

类型四、忽视准确“否定”条件或结论，导致错误

例4（1）命题“若a+b 是奇数，则a，b 都是奇数”的否命题是______；

（2）命题“已知a，b，c，d∈R，若a≥b，且c≥d，则a+c＜b+d”的逆否命题是______.

错解：（1）否命题是：若a+b 不是奇数，则a，b 都不是奇数；（2）逆否命题是：已知a，b，c，d∈R，若a+c≥b+d，则a＜b，且c＜d.

剖析：第（1）题错在误以为“都是”的否定是“都不是”，实际上应该是“不都是”；第（2）题错在误以为“a≥b，且c≥d”的否定是“a＜b，且c＜d”，实际上应该是“a＜b，或c＜d”.一般地，我们应该注意：“p 且q”的否定是“┐p或┐q”，“p 或q”的否定是“┐p 且┐q”.

正解：（1）否命题是：若a+b 不是奇数，则a，b 不都是奇数；（2）逆否命题是：已知a，b，c，d∈R，若a+c≥b+d，则a＜b，或c＜d.

类型五、忽视对充分条件和必要条件在不同叙述方式上的“准确”理解，导致错误

例5设m，n 是平面α 内的两条不同直线，l1，l2是平面β 内的两条相交直线，则α∥β 的一个充分而不必要条件是（ ）.

A.m∥β 且l1∥α B.m∥l1且n∥l2

C.m∥β 且n∥β D.m∥β 且n∥l2

错解：本题考查α∥β 的一个充分而不必要条件是什么，即考查由α∥β 能得到什么结论，但反之由这个结论不能得到α∥β.

要得到两个平面平行，则必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行.若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面.

结合以上分析，易判断知，本题应选C.

剖析：本题易错点是混淆“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是q”.这两种叙述的含义是不同的，请注意：“p 的充分不必要条件是q”，等价于“q是p 的充分不必要条件”，也等价于“p 是q 的必要不充分条件”.据此可知，上述错解的根源在于，对目标问题的等价转化分析恰好搞反啦，从而导致了错误的产生.

正解：本题考查α∥β 的一个充分不必要条件是什么，即考查由什么条件能得到α∥β，但反之由α∥β 不能得到这个条件.

要得到两个平面平行，则必须是一个平面内的两条相交直线分别与另外一个平面平行.若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面.

结合以上分析，易判断知，本题应选B.

类型六、忽视对约束条件的“等价”转化，导致错误

例6已知命题p：方程x2+mx+1=0 有两个相异负根，命题p：方程4x2+4（m-2）x+1=0 无实根.若命题“p 且q”为假命题，命题“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围.

错解：对于命题⇔m＞2，即p 为“m＞2”.

对于命题q：Δ＜0⇔16（m-2）2-16＜0⇔m2-4m+3＜0⇔1＜m＜3，即q 为“1＜m＜3”.

因为“p 且q”为假，“p 或q”为真，所以p 真q 假.所以

故所求实数m 的取值范围是［3，+∞）.

剖析：因为“p 且q”为假，是指p 和q 至少有一个为假，而“p 或q”为真，是指p 和q 至少有一个为真，所以约束条件“p 且q”为假，“p 或q”为真，即就是“p 与q 一真一假”.据此易知，上述错解中得到——所以p 真q假，存在问题，因为缺少p 假q 真这种情况.

正解：对于命题p 和q 的等价转化，同错解（具体过程，略）.

因为“p 且q”为假，“p 或q”为真，所以p 与q 一真一假.具体讨论如下：

综上，可得1＜m≤2 或m≥3.故所求实数m 的取值范围是（1，2］∪［3，+∞）.

总之，认真学习有关集合与常用逻辑用语常见错误类型，不但有利于提高对教材知识的到位认识，而且有利于积累解题经验，有效避免一些差错的产生，提升解题思维能力！