渗透思想方法的高中数学教学例谈与思考

☉江苏省奔牛高级中学 林美仙

对数学事实和理论进行高度提炼、概括所得的本质认识即为我们通常所讲的数学思想，数学思想这一数学知识与方法产生的根本源泉对于解决数学问题来说无异于指路明灯.华丽的“包装”对于试题来说远远比不上其本身所蕴含的思想方法.教师在实际教学中应努力体现数学思想的价值并引导学生对多种解法进行全方位、多角度的思考，使学生能够在多维思考与探究的过程中进行不同知识间联系的沟通，顺利构建知识网络并获得发散思维的锻炼，并因此在不同的切入口进行思维与锻炼的过程中获得数学能力与核心素养的发展.本文着眼于一道基础测试题的解法探究，主要谈谈笔者在解题教学中渗透数学思想、内化素养的一些思考和体会.

一、各种视角下的解题探究

试题已知实数x，y 满足x2+xy+4y2=1，则x+2y 的最大值为______.

视角1.构造思想

构造法运用于解题主要是数学式子或模型的构建，这需要对已知条件与问题进行观察和分析并联系已有知识来实现.本题的解决可以利用重要不等式x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y 时取等号.

视角2.函数与方程思想

利用函数概念和性质对问题进行分析、转化和解决即为函数思想的运用，方程思想则是着眼于问题的数量关系进行转化和数学模型的建构，方程、不等式和不等式组是运用方程思想解题的主要形式.

令x+2y=t，则直线x+2y=t 和曲线x2+xy+4y2=1 有交点.

视角3.换元思想

又被称作辅助元素法和变量代换法的换元法需要引进新的变量，问题中分散的条件及隐含的条件因此得以联系与显露，在此基础上所进行的条件与结论的联系往往能使问题获得转化.三角换元解决此题是完全可行的.

视角4.等价转换思想

当问题比较难以解决时，教师可以引导学生将需要解决或者较难解决的问题进行某种转化，使问题最终归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题，这种思想即为等价转换，等价转换思想用于解题思考也是一种有效的方法.应用1 的代换与齐次化方法解决本题一样可行.

视角5.数形结合思想

运用数形结合思想解题的关键在于数形之间的相互转化，也就是运用代数方法对几何问题进行处理和解决，或者根据问题的已知条件进行构图来解决代数问题.构造三角形并利用正弦余弦定理解决这一问题一样可行.

因为x2+xy+4y2=1，当x＞0，y＞0 时，x+2y 可取最大值.令2y=t，则

图1

根据正弦定理可得：

视角6.特殊化思想

数学高考试题往往变化多端且深浅难测，充分挖掘隐藏于问题之中的特殊因素能使解题更加简捷，很多烦琐的运算、作图与推理往往会因此避开，一些意想不到且新颖独特的解法也会因此产生.利用特殊因素对解题进行特殊的思维即为特殊化思想视角下的解题.事实上，高考试题中的不少选择题与填空题可以运用特殊化思想实现顺利解题.

令x=2y，则由x2+xy+4y2=1，可得10y2=1，所以y=.因此x+2y 的最大值为

二、教学思考

1.帮助学生在解题中领悟数学思想

帮助学生解决数学问题自然不会是数学教学的根本目的，数学教学的根本目的应该是帮助学生在数学学习中领悟数学思想并学会具体的应用，也就是说，教师帮助学生学会运用数学思想解决实际问题才是最根本的.不过，学生仅凭教师的讲授是无法真正熟练掌握数学思想的，教师必须进行针对性的反复训练，才能帮助学生在实际应用中进行揣摩并学会灵活运用.教师应有意识地引导学生思考解题并使其思维模式获得最大化的提高.学生的思考过程在缺失教师引领的情况下往往会产生一定的错误或发生偏差，因此，教师在实际教学中一定要注意典型题目的讲解，使学生能够在一些典型的、具有代表性的解题教学中获得启发，不断萌发学习兴趣并因此逐步提升自己的学习效率、创造能力与思维能力.

2.帮助学生在知识发生中领悟数学思想

数学学习有一定的层次之分，理论知识属于相对较浅层次的学习，数学思想则属于相对较深层次的学习.数学知识的熟练掌握是数学思想学习与领悟的基础.表层知识的学习在教师的传授中一般能获得较为理想的效果，但深层的数学思想却离不开学生自己的领悟与体会，而且这必须建立在学生已经熟练掌握知识并知识积累达到一定的程度才能实现.支撑、统帅表层知识的数学思想这一深层次的学习离不开学生对这一学科精髓的深层理解.因此，教师在实际教学中一定要加以深层次知识的灌输并使表层知识、深层思想都能得到有意义的传授，使学生在双管齐下的教学模式中获得思维最大化的发展和提高.

数学思想方法与操作程序是两个完全不同的概念，数学思想方法的教学自然没有具体的步骤，需要的是学生在熟练掌握知识基础之上的深层领悟与理解，只有这样，学生在解题时才能快速寻得准确的解题方向.本文所阐述的各种不同视角下的解题，实际上是对学生感悟数学思想的引领.笔者在上述章节中阐述的各种数学思想在近年来的数学高考试题中均有所体现，试题难度的上升也将数学思想方法在解题中的作用体现得越发明显.教师在实际教学中应多加重视数学思想在解题中的引领并启发学生进行多种解法的思考.渗透数学思想方法的教学能帮助学生在传统的知识学习中获得转型，使学生能够在知识型学习向能力型学习的转化中获得有意义的启发与领悟.