逆向思维的常见类型及培养策略

☉广东省信宜中学 蔡玉姬

根据心理学对思维的研究结果，人们的思维不是单向的，一个特定的思维过程一般来说都会有一个相应的反向思维过程，我们在解决问题的过程中会逐渐形成一种习惯性思维，在遇到新问题时也会倾向于选择这种对于自己来说更加熟悉和自然的思考方法，然而在有些情况下这会在无形之中限制我们思维的灵活性，使我们难以应对不熟悉的问题，因此教师在日常的数学教学中应加强对学生逆向思维能力的培养.

一、前言

人们在认识事物发展的时候会不自主地带上一些方向性，比如，我们会倾向于把符合自己认知习惯的事物发展方向认为是正向的，而把与其对立的方向认为是逆向的，这是人们思维主观性与客观性相结合的结果.

我们在解决问题的时候会受这种思维的影响，倾向于从自己习惯的角度去寻找问题的解决方法，虽然有些时候这能帮助我们省去一些思考的时间，提高解决问题的效率，但是如果我们拘泥于用自己习惯的思维来考虑问题，有时反而会限制我们的思路，很多情况下难以得到问题的答案或者解决方案会不尽人意，这个时候逆向思维往往就能发挥很大的作用.

例如，笔者曾经看见过这么一道有趣的例题：某富商在临终之前将自己剩下的19 头羊分配给自己的3 个儿子，希望长子能够分得一半，次子可以获得四分之一，最小的孩子分得五分之一，并且不能杀死羊而分羊肉，富商死后，几位儿子讨论了很多天也没有结果，你能尝试帮助他们解决这个问题吗？这个问题如果按照正向思维来考虑的话很难解决，因为羊的总数不是2、4、5 中任意一个数字的整数倍，问题会不可避免地涉及分数，但如果我们尝试打破思维定势，从反方向思考这个问题，就会发现新天地：假设我们可以从别处借来一只羊，使羊的总数达到20，那么很自然地，我们可以很轻易地得出大儿子可得10 只，二儿子可得5 只，而最小的儿子可得4 只，最后再将借来的羊还回去就可以了，这样的分配方法满足富商给出的条件.

另外，逆向思维还能帮助我们发现一些有价值的规律.比如，法拉第的电磁感应定律就是逆向思维的产物，早在十九世纪初，物理学家奥斯特就发现了电流的磁效应，即电流可以在其周围激发出磁场，英国物理学家法拉第受到辨证思想的启发，开始逆向思考，既然电流可以产生磁场，那么磁场会不会也对电流产生影响呢？在不懈的努力研究下，法拉第发现了切割磁感线可以产生电流的现象，即著名的电磁感应效应.再比如，德布罗意通过逆向思考发现了物质波，古今中外的许多科学家都是在逆向思考的过程中发现了一些惊人的规律.

二、逆向思维的心理学原理和独特教育价值

根据心理学对思维的研究结果，人们的思维不是单向的，一个特定的思维过程一般来说都会有一个相应的反向思维过程，通俗地说，它就是我们生活中的反着想一下.之前提到，我们在解决问题的过程中会逐渐形成一种习惯性思维，在遇到新问题的时候也会倾向于选择这种对于自己来说更加熟悉和自然的思考方法，然而在有些情况下这会在无形之中限制我们的灵活性，使我们难以应对不熟悉的问题.

上述情况对应到学生身上就体现为思维路径单一，不能灵活应用定理规则解决变题等问题，这实际上是学生综合数学能力缺失的一种表现.解决这一问题的关键在于培养学生的逆向思维能力.逆向思维与习惯性思维的不同之处在于，它更强调思维的发散性与创新性，一般的表现形式有以下几种：对常用数学定理和定义、公式等的逆向运用，很经典的一个例子就是逆用勾股定理判断一个三角形是否为直角三角形；对于难以正面证明的问题进行逆向的推理和计算，反证法的思想本质上就是这样一种逆向思维.培养学生的逆向思维能力也是实现中学数学教学目标的重要手段，教师应在日常教学中对其予以高度重视.

三、两种常见的逆向思维类型

逆向思维是一个很大的概念范畴，细分下来有三种，即反转型、转换型和缺点型逆向思维法，在中学数学教学中教师应该着力培养学生前两种逆向思维能力，下面笔者将对应到中学数学教学中对这两种逆向思维类型做简单解释.

所谓反转型逆向思维就是从数学定理的因果关系的反方向开展推理探究的一种思考方式，它能帮助学生解决一些正向思考较为复杂的问题，最典型的例子就是我们常用的反证法.举例说明，要证明任意一个三角形至少有一个角是不小于60°的，如果想用正向思维解决就需要分情况讨论，然而这样的问题更适合用反证法来解决，逆向思考问题条件“至少有一个角不小于60°”，我们可以将其转化为“三个角都小于60°”，接着再利用三角形内角之和为180°这一基本定理证明上述三角形根本不存在即可，反转型逆向思维的针对性较强，需要学生能够精确把握问题的条件和问题的目标.

转换型逆向思维就是在解决问题时如果某常用方法受到限制，则尝试转换思考角度或解决手段以顺利解决问题的思想方法，我们耳熟能详的故事“司马光砸缸”就是一个经典的例子，司马光不能按照常规的方法把朋友从水缸中救出来，就转换思路打破了水缸.以一道经典的数学概率题为例，假设有四名士兵正在进行射击训练，现如果他们同时向一目标模型射击，只要有一人击中了目标，即判定为目标被击落，四人射中目标的概率分别为0.8，0.85，0.9，0.95，试求该目标被成功击落的概率.要想高效率地解决这道题，学生需要能够灵活转换问题视角，比如思考问题的对立情况，即目标没有被任意一名士兵击中，对从正面思考难以解决的问题进行等价转化往往能够带来意想不到的简化效果.

四、三种基本的逆向思维培养策略

1.立足基本数学概念，帮助学生逐渐适应利用逆向思维解决问题

学生对于数学概念的掌握程度会直接影响他们对后续公式和定理的理解，因此教师应该从数学概念入手，逐渐让学生适应利用逆向思维解决问题.

教学实例1现有一个偶函数f（x）=（m-1）x2-mx+2，尝试说明f（0.75）和f（a2-a+1）的大小关系.

设计意图：学生在学习偶函数的相关概念时是从如何判断偶函数开始的，本例题将偶函数作为条件直接给出，希望学生能巧妙转换思路，应用函数的定义来解决问题.

解答：由f（x）=（m-1）x2-mx+2，得f（-x）=（m-1）x2+mx+2，又因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（-x），解得m=0，即f（x）=-x2+2.又易知a2-a+1≥0.75＞0，所以我们只需要关注f（x）在［0，+∞）部分的单调性即可，观察函数图像易知其开口向下，所以f（x）在［0，+∞）上单调递减.因此f（0.75）≥f（a2-a+1）.

教学实例2已知函数y=（a2-3a+3）ax是一个指数函数，那么下列关于参数a 的说法正确的是（ ）.

A.a=1 或2 B.a=1 C.a=2 D.a=3

设计意图：让学生尝试逆向思考和应用指数函数的定义.

解答：易知a2-3a+3=1，又因为a＞0 并且a≠1，所以a=2.

2.引导学生逆向应用运算律和题目提供的条件

教学实例3试对下列表达式进行化简

设计意图：学生熟知的三角函数倍角公式是2sinαcosα可转化为sin2α，这个例题的意图在于引导学生关注倍角公式的反向应用.

又根据参数的取值范围可知cosα＞sinα，所以最终的化简结果应是cosα-sinα.

教学实例4如果f（x）在其定义域（0，+∞）上是单调递增的，并且f（2）=1，且函数f（x）满足条件f（xy）=f（x）+f（y），则试求当函数满足f（x）+f（x-3）≤2 时x 的取值范围.

设计意图：本例题需要学生逆向应用题干给出的条件.

解答：由条件f（xy）=f（x）+f（y）可知f（x）+f（x-3）=f（x2-3x），又观察题干条件可知f（2）+f（2）=2，而f（2）+f（2）=f（4），所以f（x2-3x）≤f（4）.又因为函数在其定义域上的单调性为增，所以可得下列关系式：

3.抓住题目条件中的逆向性

教学实例5如果在直角坐标系中存在一点A（1，2），它在函数的图像上，且它也在其反函数的图像上，试求参数a，b 的值.

解答：根据反函数的定义可知，函数与其反函数的图像关于直线y=x对称，若点A在某函数图像上，则其关于直线y=x 的对称点也在对应的反函数的图像上，本题给出的条件中，点A同时在函数与对应反函数的图像上，因此点A 与其对称点A′都在函数的图像上，代入两个点的横纵坐标并联立方程组可得a=-3，b=7.