提升高中生数学运算素养的教学策略*

☉福建省德化第一中学 徐建新

在2017 年教育部颁发的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中，各个学科都明确提出了具有学科特点的核心素养.《普通高中数学课程标准》（2017 年版）明确了六大数学核心素养，并对九个主题提出了具体的核心素养要求，其共同特点是都要求发展学生的逻辑推理和数学运算素养.其中，数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、形成程序化思维.

笔者觉得，运算素养是在运算能力基础上提出的更高要求，应该包括运算能力、运算意识、运算品质、运算态度等.

从教学实践看，高中生数学运算存在以下几个常见问题：概念与法则理解不准确；公式、定理记错；思路不清，答题方向不明确；方法选择不恰当，运算烦琐；表达条理不清，上下行抄错等.针对上述问题，一方面，要注重培养学生运算时细致、耐心、韧劲、完美等优秀的数学品质；另一方面，即本文要阐述的在教学中提升高中生数学运算素养的策略问题.

一、“概念辨析”有利于“掌握运算法则”

核心概念要贯穿高中数学教学的始终.在概念教学中，通过符号变式、图形变式、语言变式等探究活动，辨析概念中的关键字眼，学生从不同角度对概念的内涵与外延获得更深刻的理解与认识.下面以“函数概念教学”为例.

判断下列对应关系是否是集合A 到B 上的函数.

（1）A={圆}，B={x|x＞0}，对应关系f：对A 中的圆求周长与B 中的元素对应；

（2）A=R，B=R，对应关系f：对A 中的元素取倒数与集合B 中的元素对应；

（3）A={0，1}，B={0，-1，1}，对应关系f：对A 中的元素开平方与B 中的元素对应；

（4）A={0，-1，1}，B={0，1}，对应关系f：x→y=x2，x∈A，y∈B；

（5）A={0，1}，B={0，1，2}，对应关系f：x→y=x2，x∈A，y∈B.

分析：函数是特殊的映射，（1）集合A 不是数集，明确了函数的特殊所在.以上问题是针对“函数”的前提“A，B 是非空的数集”，以及定义中强调的“三性”：任意性、存在性、唯一性而设计的.

二、“公式推导”有利于“理解运算公式”

高中数学公式具有基础性、简洁性、科学性、重要性等特点.通过对公式的推导与证明，了解公式的产生、发展过程，以及公式使用的条件、适用范围等，有利于加深对运算公式的理解.以“基本不等式”为例.

图1

图2

图3

图4

如图2，作两条首尾转接的线段MP，PN，其长度分别是a，b，则

如图3，Q，P，R 三点画线，则PM·PN=PQ·PR=a·b；

三、“一题多解”有利于“选择运算方法”

“一题多解”是指用多角度看一道题，全面利用所学知识解决问题，既开拓学生视野、拓宽解题思路，又培养学生发散思维、提高灵活应用知识解决问题的能力.在探究“一题多解”的过程中，要关注考纲和学生学情，关注解法的选择.学生根据题意选择更加合理简洁的运算方法，体现了运算的灵活性和普适性.

四、“一题多变”有利于“理解运算对象”

“一题多变”，即“变式教学”，是数学教师较常用的教学方法之一.通过对已知条件、设问方式、求解目标等进行适当变式，有利于学生充分挖掘问题中已知与未知关系，理解运算对象的变化对运算方法与过程的影响.

五、“一般问题特殊化”有利于“运算的简洁性”

一般性问题往往涉及多个变量，不容易找到解决问题的突破口.“一般问题特殊化”就是取变量的特殊值、特殊位置、特殊结构等.比如，字母问题数字化、抽象函数具体化等.

其依据是：若命题在一般情况下正确，则在特殊情况下也正确；反之，若在特殊情况下该命题不正确，则在一般情况下也不正确的原理.它避开了复杂的逻辑推理、数学运算，使得求解过程更简洁，这个方法在选择题、填空题中应用广泛，也可以先探求结论，再证明结论的普遍性.

例1（2017 年新课标卷Ⅰ理11）设x、y、z 为正数，且2x=3y=5z，则（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

分析：取x=1，则3y=3log32=log38＜2，5z=5log52=log532＞2.所以3y＜2x＜5z，故选D.

六、“特殊问题一般化”有利于“形成程序化思维”

“一般问题特殊化”应用广泛，特别是不需要运算过程、只需要求得结论的选择题和填空题.但对“特殊问题一般化”的方法不够重视.“特殊问题一般化”就是将问题放置于更加一般的情景中，得到普适性的结论与方法，再运用于特殊问题.一方面，提高对数学问题的本质认识；另一方面，一般化后的数学问题往往含多个字母，对提升数学运算素养大有益处.下面以双曲线的中点弦为例进行说明.

例2（人教A 选修2-1.P80.9）经过点M（2，1）作直线l 与双曲线交于A，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程.

分析：该问题的常用解法有三种，其中用“点差法”求斜率后写出方程最常用，其前提是所求直线的斜率是存在的.因此，需要将问题一般化，判断中点弦存在的条件.

一般化：经过点M（x0，y0）作直线l 与双曲线=1（a>0，b>0）交于A，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程.

这个求解过程是全字母运算，运算目标要明确，运算方向要清晰，运算过程要细心，心理活动要坚定，运算结果要合理（对称性）.

七、“反思完善”有利于“运算的严谨性”

反思对于数学学习至关重要，对数学解题更是如此，不但要反思解题过程是否正确、完整，对存在的漏洞要进行修正补充，还要反思算理依据是否明确，在改变条件时，才不至于出错.以一道常见的函数极值问题为例.

例3已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 处有极值为10，则a=______，b=______.

学生错解：

错因分析：当，时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，函数f（x）在R 上单调递增，无极值点.正确答案只有

反思：若x=x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=0；但f′（x0）=0 时，x0不一定是f（x）的极值点.