培养高中学生数学运算能力的案例与思考

☉江苏省通州高级中学 姚振飞

集算理、算法、计算、推理、转化等多种数学思想方法于一体的运算能力对于数学学习及相关学科的学习来说都是极为关键的，但很多高中生对运算能力的忽视导致其运算能力低下并最终影响到数学学习的整体效果.教师应该能够注意到运算能力对于数学学习的重要影响，并在实际教学中关注学生运算能力的训练.

一、运算能力的涵义和层次

运算能力这一综合性能力是不可能独立于其他能力而独立存在与发展的，和记忆能力、理解能力、表达能力、逻辑推理能力、解题能力相互渗透与支持的运算能力在发展上应与其他能力同步进行，教师应充分关注到这一点，并在教学中恰当渗透培养学生运算能力的教学以促进学生的数学学习进步.

运算能力其实包含着很多方面的内容，学生对算理、公式、法则的记忆、理解和正确运用是运算能力的最基本的内容，对数、式、方程、映射、向量等进行运算与变形属于更高层次的运算，除此以外，寻求并设计合理而简捷的运算途径、估算或近似计算及数据处理、思维能力与思想方法在运算中的渗透、运算品质与心理素质、运算速度等都是包含在运算能力范畴内的内容.

运算能力具有一定的层次性，理解、记忆及运用算理、公式和法则是属于最低层次；掌握数、式、方程、映射、向量的运算、变形的基本技能属于运算能力三个层次中的第二层次；计算中发挥思维作用并寻求、设计合理而简捷的运算途径，具备较高的运算速度、准确率及稳定的心理素质则属于最高层次.

由此可见，运算能力是从低层次向高层次发展的，教师在学生的运算能力训练中应着眼于基础，纵观全局并结合知识水平与其他能力的发展进行有针对性的训练，使学生能够在循序渐进的反复训练中获得各层次的运算能力的发展.

二、培养途径

对运算能力的发展过程进行分析可以发现，培养学生运算能力的途径主要有以下三个方面：

1.在算理、公式、法则的理解、记忆和运用上进行针对性的教学和训练

充分认识、理解算理和法则是提升学生运算能力中最基本的一个步骤，因此，教师在培养学生的运算能力上首先应关注到以下两点：

第一，提出公式、例示运用的教学模式在算理、公式、法则的理解与记忆教学中并不具备特别的价值，重视算理、公式、法则的形成过程并引导学生深刻认识其本质能使学生在理解的基础上产生牢固的记忆.

例1试求（1-2x+3x2）6展开式中x5项的系数.

分析：如果运用二项式定理和通项公式对此题进行直接求解将会产生相当烦琐的运算过程，但如果能够领会并运用组合原理来求解x5项的系数则会简捷许多.

解：展开式中含x5的项有（-2x）5，（-2x）3·（3x2），（-2x）·（3x2）2这三种类型.根据组合原理，展开式中含x5的项为因此（1-2x+3x2）6展开式中x5项的系数为-2712.

第二，引导学生在灵活运用算理、公式、法则中加深理解与记忆.比如：

教师在实际教学中重视此类运算的训练才能令学生对两角和与差的公式产生更好的理解与记忆.

2.关注数学思想方法的应用

运算能力发展成为运算基本方法与技能意味着运算能力已经发展到了中级水平，这一过程隐含着数学思想方法所起到的积极意义与作用，等价转化与数形结合就是这一过程中经常用到的数学思想方法.

教师应该能够关注到转化思想在运算中的具体体现形式并帮助学生获得切实的掌握，一般来讲，其中重要的技能有下述几种.

（1）配凑（配方）变形.

例2求tan20°+tan40°+tan20°tan40°的值.

解析：将原式变形为：

从此题的求解过程可以看出，配凑（配方）变形在解题中起到了特别重要的作用.

（2）适当换元.

例3求函数的值域.

解析：令，则x-1=t2（t≥0），故y=t2-2t+4=（t-1）2+3，因此函数的值域为［3，+∞）.

（3）整体代换.

例4已知等比数列{an}，若公比q≠±1，S10=8.试求的值.

运用数形结合解决一些运算问题的关键在于对运算式中的几何意义进行充分的挖掘.

例5若实数x，y 满足x2+y2-2x-4=0，则u=2x+y 的最大值为多少？

解析：对此题的几何意义进行充分挖掘，可知x2+y2-2x-4=0 表示圆心为（1，0）、半径为的圆，u=2x+y 即2x+y-u=0 表示斜率是-2 的直线，而且圆与直线存在公共点，则圆心至直线的距离应满足，即|u-2|≤5，解得-3≤u≤7.故umax=7.

3.突出“思维”的作用

为了培养出学生又快又准的运算能力，教师还应在运算途径上进行设计，运算途径的探寻是建立在思维活动的基础上的，因此，教师首先应突出思维活动在运算中的价值与意义并引导学生在运算过程中养成探求合理、简捷的运算途径的意识和习惯.

例6试求函数的值域.

分析：常用的求值域的方法在此题的求解中显然都是不可行的，因此，教师在此题的教学中应引导学生开动脑筋，对有效的解题途径进行思考与探求.

思路1：联想斜率，则可看成点（2，-1）和圆x2+y2=1 上的点（cosx，sinx）连线的斜率，然后在数形结合思想的运用下进行解题，此题得以求解，虽令人欣喜，但以下方法却在解题思路上表现得更加简捷.

思路2：由的形式联想asinx+bcosx=sin（x+θ），则有ycosx-sinx=2y+1，可得·sin（x+θ）=2y+1，即，则有即（2y+1）2≤y2+1，解得因此函数的值域为

例7直线l：3x-y+4=0 和圆D：x2+y2+2x=0 相交于点A 和点B，O 为坐标原点，试求△ABO 的面积.

分析：如图1，若根据常规思路来解决此题，一般都会先求|AB|的长，再求点O 到AB 的距离，最后再求出△ABO 的面积.常规思路虽然一样能令此题得解，但运算对于学生来说却存在不小的难度.我们不妨换一种解题思路，设l 与y 轴相交于C点，则S△ABO=S△ACO-S△BCO，如此求解显然简便很多.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l和y轴相交于点C（0，4）.

图1

总之，学生数学运算能力的培养离不开运算的效率、合理、灵活、简捷、正确等多方面的支撑.因此，教师首先应在思想上重视学生数学运算能力的培养，并在教学中进行针对性的引导，帮助学生养成良好的运算习惯及验算习惯，使学生能够在充分理解记忆公式、法则的基础上获得有意义的训练.同时，教师还应关注到运算能力与数学其他能力之间的联系与渗透关系，并引导学生在运算面前开展积极的思维，灵活运用数学思想方法寻求更加合理、简捷的运算方法，只有这样，学生才能在针对性的训练中获得数学运算能力及数学学习水平的不断提升.