高等数学思维融入到初等数学教育的实证分析

戴 敏

（浙大城市学院计算机与计算科学学院 浙江·杭州 310015）

0 引言

数学是一门从义务教育开始直至高等教育甚至持续终身的基础学科。大部人都认为初等数学尤其是小学数学与高等数学相差甚远，事实上它们之间不仅在内容、而且在思维上都存在密切联系。Tall(1991)是一位从事中小学数学教育的数学家，他提出了数学的三个世界的观点。这个理论完全符合数学发展的特点以及人类的认知发展规律。他在著作《高等数学思维》中告诉人们，高等数学是抽象的，而对应的相对具体的概念是初等数学阶段就逐渐熟悉的，也就是说高等数学思维不仅仅是高中以后才开始的事情，它完全可以浸入到小学一年级的学习。这就要求初等数学的教师尤其是小学一年级的数学教师，尽早从数学的严密性、逻辑性等特点，去帮助学生自己建构起数学思想，甚至是高等数学思想。

在我国初等教育阶段，基础课的授课老师是由热爱这个学科、充分接受过该学科高等教育、同时有基本的儿童心理学的人来担任。目前承担我国基础教育尤其是小学教育的老师，大都来自师范类学校。他们的优点在于有充分的儿童心理学知识，对学生有爱心，这在小学低龄阶段确实是最重要的。但是由于教学内容的限制以及部分教师的全局数学素养欠缺，不能引导学生建立起全局的知识观，这也是目前针对义务教育的课外兴趣班遍地开花的原因之一。好在，很多民办小学、公办小学的兴趣课，已经有向强调知识的系统性这个方向发展的趋势了。引导学生探究每门学科的本质，支持学生犯错、不轻易相信书上写的结论，才是我们应该给予孩子的教育环境。

1 实证分析

小学生的思维特点是非常具体的，他们思考问题时相信自己看到的事实，而不是老师说的结论。作为教师，要回答孩子们提出的任何“为什么”，比如“1+1为什么等于2”等等。如果教师本人学术造诣不够，对解释不了的问题进行无法自圆其说的科普，将会对孩子的兴趣造成巨大伤害，会被认为是在用老师的身份强行灌输。每一个孩子都像一块美玉需要老师去雕琢，虽然不是每个孩子都有数学的天赋，但是引导每一个孩子体验到数学的魅力，是教学的一大难点，也是挖掘孩子身上数学天赋的必经之路。笔者尝试在两所公办小学、一所民办小学担任了一周一次的数学兴趣课老师，将高等数学的思维融入到初等数学的教学中，收获颇多。整理了以下几个数学概念的实例。

1.1 无穷与有限

小学低年级阶段的学生，对自然数的概念可以尝试达到两个认识上的飞跃：从正整数到0到负整数的认识，以及从有限到无穷的认识。

问题一：如果不一一数清楚，怎样判断两个学生的笔袋里的笔谁更多？

学生回答：两个人依次从自己的笔袋里拿一支笔出来，谁先取完，而对方还能拿出下一支来，则谁的笔少。如果同时取完则两人笔一样多。

这显然是一个很简单的能够比较出谁的笔更多的做法。

问题二：偶数和自然数谁更多？

学生提出了两个似乎都对的结论：

结论一：一个偶数1，能对应一个自然数2；一个偶数2，能对应一个自然数4；一个偶数3，能对应一个自然数6…以此进行下去，和刚才取笔的做法一致，偶数堆里拿一个来，自然数堆里都能够拿出相应的一个来应对，所以它们是一样多的。

结论二：自然数除了偶数还有奇数，所以偶数个数加奇数个数才是自然数个数。所以自然数比偶数多。

孩子们有争论，最后老师和学生能够达成一致的是，如果某一事物，双方都是有限个，那就能比较多少；如果一方是有限个，一方是无穷多个的话，那有限的一方一定会先取完，它一定是少的那方；如果双方都是无穷多个的话，那就没法比较了。

小学生当然不能理解“比较可数无穷和不可数无穷之间有没有意义、或者谁多谁少”，但是他们能理解可数无穷的字面意思——可以数！什么是可以数的？就是一个、两个、三个、四个等等，能够和自然数一样1、2、3、4等等可以一个个由小到大数出来的。

1.2 极限

极限是高等数学的思维。大部分学生从高中才开始接触到极限，比如考虑等比数列的无穷多项求和、求平面曲线在一点处的切线斜率等问题。但是同样可以引导小学生作类似的思考。

问题一：0.9999…和1如何比较大小？

结论一：因为1-0.9999…=0.0000…1是大于0的数，所以0.9999…当然比1小。

反驳：没有0.0000…1这个数。因为0.0000…1表示的是在无穷多个0后面加一个1，但是无穷多个0本身没有最后一个，也就没有“最后一个后面加一个1”的意义。

结论二：0.9999…=1。因为在0.9999…和1之间不能夹任何数，使得这个数比0.9999…大且比1小。

结论三：0.9999…=1。因为 0.3…=1/3，所以 0.9999…=1/3*3=1

结论二和三都是小学生对这个问题的很好的理解。

问题二：面积单位的定义和圆面积。

首先引导低年级学生定义出面积（大小）的单位，比如1厘米*1厘米的正方形的面积就是1平方厘米。那么长度、宽度分别为a，b厘米（取整数）的矩形的面积可以通过分割得到是ab平方厘米。然后对长宽分别是0.5和4厘米的矩形，可以分割成4个0.5厘米*1厘米的矩形，再拼接成2*1厘米的矩形，所以它的面积是2平方厘米。由此可以得到长宽为a，b厘米的矩形面积是ab平方厘米。

每个同学随机得到半径分别为5厘米、10厘米、20厘米的圆各5个（指圆盘，大多数小学生把圆周和圆盘都称为圆），将圆切割成无穷多个矩形，估算出每个圆的面积。同学们估算得到三种半径的圆的面积的平均值，然后寻找面积和半径的关系。无需计算，大多数同学都能猜到面积应该和半径的平方成比例，比例系数在2与4之间。通过计算，得到的圆面积/半径平方的比例最接近的是3.18。这就是圆周率的近似计算。

1.3 逻辑悖论

类似于中国的自相矛盾，数学上也有类似悖论。比如，公元前四世纪的悖论：我现在说的是谎言。教师可以引导学生也讲出类似的悖论。

学生举了自己从课外书上看到过的事例：（1）自相矛盾；（2）理发师自述，村子里所有不是自己理发的男人的头发都由我来理。

在讲逻辑悖论这堂课中，几乎没有学生能自己想出悖论来，这完全符合他们的年龄特点。所以教师要以引导学生明白悖论的相互矛盾的两方面为目的。

1.4 定义决定结论

任何事物都有两面性。根据定义的不同，结论也不同。比如，在高等数学中，“距离”一词不仅适用于直线、平面或者空间几何体，也适用于集合中的元素。

问题一：如何来比较班里两个同学的头发谁长？学生讨论后出现了很多结论。

结论一：找到两人最长的头发，谁的那根头发最长，他（她）的头发就最长；

结论二：找到两人最短的头发，谁的那根头发最长，他（她）的头发就最长；

结论三：比较两人的大多数头发，谁的大多数头发比另一个人长，他（她）的头发就最长。

……

这些结论按照不同的定义下的结论都是对的。数学也没有标准的答案，只要有道理，都是合理的思路。当然这不是告诉孩子们“任何事情都可以颠倒黑白”，而是遇到问题可以用自己的逻辑方式严密思考。

问题二：既然在空间中，两点之间直线段最短，那么在球面上呢？比如从中国上海到美国洛杉矶，飞机的航线怎么画才能使飞行路程最短呢？

结论：学生通过观察标准球形的地球仪，在图像中画出了最短的距离，即我们理解的球面上的两点，走大圆最短。

1.5 推导

同样的数学问题，在不同年龄阶段的学生看来，甚至同一个年龄阶段不同的学生看来，可能想法是完全不同的。教师需要尊重每个学生的想法，不能随意下结论判断“结论的对错”和“方法的简单、复杂”，把一些很有价值的奇思妙想扼杀在萌芽中。在小学数学课上，老师是把“三角形的内角和是180度”当作事实来使用的，教课书上采用的方法也是很直观的，通过三角形内一点，将三角形分成三个部分，然后重新组合成一条直线来得到三角形的三个内角构成了一个平角，所以是180度。但是有没有学生曾经问过为什么呢？

问题：为什么三角形的内角和是180度？同理，为什么任意的凸边n形的内角和是180(n 2)度呢？

学生们的讨论之后得出的一些观点：

结论一：一个直角是90度，那矩形内角和是360度。所以把矩形分成两个三角形，所以三角形内角和是180度。

反驳：不对。只能说明直角三角形内角和是180度。

结论二：把矩形拉成平时四边形，再分成两个三角形。这样的到的就是普通的斜三角形。

反驳：不对。按问题描述，必须说明任意三角形的内角和都是180度才行。

一个学生的证明方法：

步骤一：画出任意的三角形，凸四边形，凸五边形，凸六边形等等，测量出每一个图形的所有的外角和，都约为360度。

步骤二：由于任意的凸n边形的所有外角及内角和是180n度，所以内角和是180(n 2)度。

依然存在的问题：为什么测量得到有限个凸n边形的外角和是360度，就能说明任意的凸n边形的外角和就一定是360度呢？这种做法，和“测量有限个三角形得到三角形的内角和是180度”没有本质差别。

步骤三：能否用归纳法证明任意的凸n边形的外角和一定是360度？

反驳：证明过程中需要用到三角形的某一个外角等于它的不相邻的两内角和这个定理。而这个结论的证明似乎要用到三角形的内角和是180度。在做一些证明时，往往会在过程中已经不经意地用到了需要证明的结论，这是很常见的逻辑错误。

这节课没有得到最后的结论，而且使同学陷入了原来“有些数学问题看似简单，但是却得不到合理的结论。”的苦恼，一直问“那该怎么办呢？”。

一般来说，数学上的公理是不需要证明的，比如“1+1=2”，因为这就是2的定义；再比如欧几里得的有关平面几何的五条公理（包括公理5：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和180度，则这两条直线在这一边必定相交），也是默认成立无需证明的。其他任何定理、命题、推论都可以通过公理以及已经证明成立的定理来证明。事实上，三角形内角和问题，在平面几何的发展过程中，我们由公理5推导出“若平行的两条直线与第三条直线相交，则内角之和等于两个直角”，再推导出“两直线平行，则内错角相等”，再推导出“三角形的内角和是180度。”

1.6 数学文化

我们早就意识到数学是一门非常重要的基础学科，有些家长怕自己孩子的数学从小落后于别人，甚至从幼儿园起就会选择许多数学绘本给孩子开拓眼界，用游戏的方式培养孩子对数学的兴趣。父母都希望孩子能够首先对学习产生兴趣，接下来能够发自内心地熬过寒窗读书的辛苦，实现自己的理想。笔者认为，与其告诉孩子学习是快乐的，不如用讲故事的方式展示给他们看，历史上的基础学科工作者，为了得到我们今天看到的一点点进步付出了多长时间的不求回报的努力。

比如，数学家欧拉。他在59岁左右双目失明了。但是在此之后的17年，他依旧靠着强大的记忆力和心算能力，做出了很多重大贡献。他能够记住那个时代里所有重要的研究成果，能够复述年轻时候的工作笔记，甚至能够直接心算高等数学。此外，为了能让丈夫安心工作，他的妻子也为欧拉的成就做出了极大的贡献，抚育了家里的13个孩子及孙辈。

比如，天文学家第谷布拉赫。他是最后一位也是最伟大的一位用肉眼观测的天文学家。1576年到1599年，第谷在丹麦与瑞典间的汶岛的天文台（丹麦国王为他建造的世界上最早的大型天文台）工作20多年，取得了一系列重要成果，创制了大量的先进天文仪器。在1577年通过对两颗明亮的彗星的观察，他得出了彗星比月亮远许多倍的结论，这一重要结论对于帮助人们正确认识天文现象，产生了很大影响。

比如，俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅。她从小喜爱、擅长数学，有父亲的支持可以坚持学习，可是当时的俄国不允许女性接受高等教育。通过婚姻，她跟随丈夫来到德国，但是依然不被允许进入大学课堂。于是，她凭借出色的数学基础和热爱数学的坚韧精神，得到了数学家魏尔斯特拉斯课堂外的单独辅导。最后虽然柯瓦列夫斯卡娅本人没有在大学里上过一节课，但是却因为她的优秀论文得到了博士学位，也随后成了斯德哥尔摩大学的一位数学老师。

2 结论

笛卡尔的《方法论》告诉每个一个学习数学乃至其他学科的人：

（1）凡是我没有明确地认识到的真理，我绝不把它当成真的接受；

（2）要研究的复杂问题，尽量分解为多个比较简单的小问题，一个一个地分开解决；

（3）小问题从简单到复杂排列，先从容易解决的问题着手；

（4）问题解决后，再综合起来检验，看是否完全，是否将问题彻底解决了。

这几条基本的想法，看似平淡无奇，其实凝聚了前人千百年来的智慧，值得今天每一个科学工作者当做座右铭来恪守。

数学成绩很多时候成为当作用来判断一个学生聪明或者笨的标准，这是不合理的，因为很多孩子的数学思维从一开始就被禁锢住了，他们的发散性思维被简单地用“错”而否定了，这是我们义务教育的弊端。

数学发现并不是在基本公理上简单的逻辑推理演绎，而是在证明和反驳的过程中不断修正和完善的体系。今天学生们的看似幼稚的想法、做法，正是千百年来数学工作者们思想的必经之路。即使如数学这样建立在公理体系上的逻辑学，也不是完全确定的，仍然有极大的未知等待探索。不轻易否定孩子的思路，尊重他们的奇思妙想，引导他们开拓思维，是数学工作者的初心。