以问题为支架培养核心素养的教学设计

刘洁欣

【摘要】文章以“等比数列的概念及其通项”教学设计为例，通过以问题为支架，引导学生进行思考，体会知识的形成过程，理解知识的本质内容，掌握和巩固知识，从而提高学生学习的积极性，提高学生提出问题和解决问题的能力，提升学生学科核心素养能力。

【关键词】等比数列定义   问题支架   核心素养   教学设计

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）31-133-02

一、内容和内容解析

（一）教学内容

高中数学人教A版教材《数学5》（必修）第二章“数列”的第四节等比数列的第一课时“等比数列的概念及其通项”。

（二）教学内容分析

教材地位：数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。等比数列是学生学习了等差数列之后的另一特殊数列，在购房贷款、人口增长、存款利息，资产折旧等计算问题上有着广泛的运用。

教学任务：本节课是学生已经学习了等差数列的基础上，让学生通过类比，辨析学习等比数列，并且归纳等比数列的通项公式。一方面培养了学生类比推理能力。

（三）目标和目标解析

（一）目标

①理解和掌握等比数列的概念、等比中项

②理解等比数列通项的推导过程，能够熟练的掌握并且运用

③实际问题抽象出等比数列的模型

（二）目标解析

①学生通过类比等差数列，理解等比数列的概念和通项公式，知道等比数列的形成过程，达到对学生逻辑推理的数学核心素养的培养

②学生通过等比数列举例，由特殊到一般，培养数学抽象核心素养

③学生通过实际问题，能够抽象出等比数列的数学模型，培养学生数学建模的素养

④学生通过例题的分析，能够熟练的掌握并且运用知识解决问题，培养学生的运算素养。

二、教学问题诊断分析

虽然学生已经学习了等差数列的相关知识，有了学习等比数列的起点。但等比数列的计算过程涉及指数幂的运算，由于笔者所在学校学生计算能力差，这应该会使得在通项公式推导和运用过程中浪费过多的时间在计算上。而且学生会受到等差数列知识结构的固化，而错误的理解等比数列的本质特征，这为本节课问题的设计提供了条件。笔者认为在教学过程中要注意等差数列与等比数列的联系与区别。

三、教学重点和教学难点

教学重点是等比数列的概念及通项公式;教学难点是等比数列通项公式的推导过程和运用。

教学过程设计

环节1  复习引入 温故知新

请同学们回忆等差数列学习了什么内容？

师生活动：由学生写出等差数列的定义、通项公式、性质

环节2  设计问题支架，构建新知

问题1  类比等差数列定义说说等比数列的定义，并用数学符号表示。

教师追问1：等差数列中的公差d可正可负也可以为零，那么等比数列的公比q是否可正可负也可以为零呢，如果可以请举例说明，如果不可以请说明原因？

学生活动：学生举例q>0，q<0，q=o

设计意图：类比等差数列的定义，理解等比数列的定义，并让学生理解等比数列的本质公比q的取值范围q≠0，培养学生的类比推理和辨析能力。

教师追问2：当q>0，q<0，时这个等比数列是怎样的数列？是不是q>0数列为递增数列？

师生活动：学生通过上面列举的具体例子发现公比q>0可以分为q>1、0

当                       时，等比数列{an}是递增数列

当                       时，等比数列{an}是递减数列

当                       时，等比数列{an}是常数列

当                       時，等比数列{an}是摆动数列

教师追问3：是否存在既是等差又是等比的数列？如果存在，是具有怎样特征的数列？

设计意图：通过观察，揭示概念的本质和内涵，加深学生对概念的进一步理解，激发学生学习新知识的欲望。

教师追问4：数列1，x，x2，x3，…，xn：是等比数列吗？如果是，公比和首项各是多少？

设计意图：培养学生的辨析能力，加深培养学生遇到未知数，要进行分类讨论的习惯。

教师追问5：已知在数列{an}中，有an=2an-1，这个数列是等比数列吗？如果有an+1+    an=0呢？，如果an+1-3an=1有呢？

设计意图：使学生明白是一个数列是等比数列的依据来自于它的定义，学会构造等比数列定义的模式        =q或者      =q（q≠0），为后面数列通项公式的学习做好铺垫。

问题2  请同学们类比等差中型的概念写出等比中项的概念，并写出等比中项与其他两个数满足的数学关系式？

教师追问1：关系式中的那两个数的符号有什么特点？

学生活动：小组讨论，自主完成

教师追问2：等差中项和等比中项有什么区别？

师生活动：教师板书：如果三个数a、G、b成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项。记G2=ab（G=±  ab）

教师追问3：a，G，b成等比数列，G一定为± ab吗？

设计意图：让学生深入挖掘等比中项的特征，学会求等比中项应该根据问题情境做出分析。

问题3  请同学们回忆等差数列通项公式的推导过程，尝试推导出等比数列的通项公式。

师生活动：

（1）学生自主学习，写出等差数列的推导过程

（2）小组合作探究，完成等比數列的推导

（3）教师投影学生的推导过程，板书等比数列的通项公式

an=a1qn-1（q≠0，a1≠0）

教师追问：等差数列的通项公式有首项式也有任意项变形式，那等比数列是否也有任意项式，试着写出来并加以证明

师生活动：

学生通过观察发现，教师板书等比数列的第二个通项公式

an=amqn-m（q≠0，a1≠0）

设计意图：通过观察、猜想、发现、归纳的过程体验，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，强调归纳思想的运用，培养学生的逻辑推理素养。

环节3 例题分析 应用新知

例1：已知一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项和第2项

变式：在等比数列{an}，已知a3=1，a7=    ，求等比数列{an}的通项公式。

师生活动：

（1）学生根据刚才所学习的等比数列的两种通项公式选择恰当的方法进行求解。

（2）教师根据学生的解答情况分析通项公式的特点，并引导学生选择简便的方法解题。

设计意图：让学生在解题过程中帮助学生体会等比数列的本质特征，知道数列中an，a1，q，n中的某几项，代入通项公式，通过联立方程组就可以解出其余未知的项。这样既巩固等比数列的通项公式。也让学生感受与方程间的联系。

例2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质原来的84%，这种物质的半衰期为多长（结果用对数表示）

师生活动：让学生小组讨论，发现这个过程可以构造等比数列的数学模型，写出首项、公比。

设计意图：帮助学生在实际问题情景中发现数列的的等比关系，培养学生学会从实际问题中抽象出数学模型的能力。而且用对数的知识解方程帮助学生回忆对数的相关运算，培养学生的运算能力。

环节4  课堂小结： 完成表格

设计意图：通过等差与等比数列的比较，让学生体会两种特殊数列的联系与区别，便于后面运用过程中选择合适的方法快速解答，培养学生学会知识的联系。

四、目标检测设计

（一）目标检测题组一

（1）课本第53页习题2.4A组的第一题

在等比数列{an}中，

①a4=27，q=-3，求a7;

②a2=18，a4=8，求a1与q

③a5=4，a7=6，求a9

④a5-a1=15，a4-a2=6，求a3

检测目标：通过已知an，a1，n，q的任意几项求解数列中其他项

（2）课本第53页练习第五题

某人买了一辆价值13.5万元的新车。专家预测这种车每年按10%的速度折旧。

①用一个式子表示n（n∈N*）年后这辆车的价值。

②如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

检测目标：培养学生在现实生活钟提炼等比数列的数学模型的能力。

设计意图：加深和巩固等比数列通项公式的运用，培养学生运算能力素养。

（二）目标检测题组二

问题1 若数列{an}是等比数列，那么数列{   }、{an2}、{ an  }、{λan}是等比数列吗？如果是，分别求出他们的首项和公比。

问题2  若数列{an}与{bn}均为等比数列，那么数列{anbn}、{    }为等比数列？如果是，分别求出他们的首项和公比。

检测目标：让学生学会进一步辨析等比数列特征

设计意图：通过变式，培养学生的发散思维。掌握证明它是等比数列的规律。

五、教学反思

本节课以问题为支架、运用探究式的课堂模式，在课堂上以问题引导学生对知识的理解，让学生体会概念学习的严谨性。这符合新课标的要求，把课堂学习的主权还给学生，让学生自己做知识的主人。但由于有部分学生的知识储备能力不足，对于问题的解决过程中，显得有些措手不及。加上笔者所在学校的学生基础较为薄弱，计算能力差，在例题的求解过程中速度较慢，浪费了一些时间，使得最后的总结有些仓促。因此，在以后的教学过程中，应该更多的以问题为支架，引导学生进行思考，体验知识的形成过程，不仅有利于学生更加牢固的储备知识，而且对学生学科素养培养有着重大的意义。

【课题：广州市增城区教育科学“十三五”规划2019年度课题“以问题为支架”的高三复习课有效性研究（编号：zc2019029，主持人：胡能其）】

【参考文献】

[1] 马旭，欧阳尚昭.“集合的概念”教学设计、教学反思与点评[J].中学数学教学参考，2019（22）：17-23.

[2]钟海荣，段文琼.翻转课堂模式在高中数学教学中的应用——以《函数的单调性》的教学为例[J].语数外学习（高中版上旬），2020（06）：53.

[3]秘海霞.“基于学生所学，建立任务驱动”的“教、学、评”一致性教学设计——以“解直角三角形”为例[J].中学数学，2020（18）：18-19+22.