小学数学逆向思维能力及其培养方法

罗善彪

逆向思维亦称求异思维，是批判性思维的一种具体形式，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反向思考的一种思维方式，即“反其道而思之”，让思维向对立面方向发展，从问题的反面进行深入探索，树立新思想，创立新形象。逆向思维法有反转型逆向思维法、转换型逆向思维法和缺点型逆向思维法等类型。逆向思维能力的培养，对于提高学生的学习效率、促进其个人成长具有显著作用。

一、逆向思维对数学学习的作用

小学生受多种因素影响，很自然地养成正向思维的习惯。在教学中适当引入逆向思维方式，培养学生的逆向思维习惯，有利于寻求解决问题的新方法。

1.逆向思维有利于学生高效而深刻地理解知识

学生刚接触“倍”的概念时，总习惯用“4的5倍是20”这种正向思维方式来表述，随之产生“4乘5等于20”的算式，即只有一种固化的思维模式。由此而形成的“倍”的概念始终是基于“乘法”的倍数关系。而逆向思维的表述就变为“某数的5倍是20，这个数是4”、“20是4的5倍”或“20是5的4倍”。看似只是语言表达方式的简单变化，实际上却蕴含着思维方式的突破，后者既呈现了基于“乘法”的倍数关系，也体现了基于“除法”的倍数的理解，有利于学生全面、建立“倍”的概念并深刻理解倍数各部分之间的关系。

2.逆向思维可简化问题并获得解决问题的新途径

运用逆向思维解决问题最经典的案例莫过于“司马光砸缸”。当别人都在围绕如何“推倒缸、排干水、拉出人”等顺向思维想办法时，司马光却从“缸破水出、水尽人救”的思路去思考，在紧急时刻轻而易举地完成了救人之举。独辟蹊径的问题解决办法充分展现了逆向思维的精妙之处。在小学数学中，也有很多这样的案例。例如，在教学“99+199+299+399+499+599+699”时，若学生按照正向思维去解决，不仅计算量大，而且计算步骤多，很容易出错。若利用转换型逆向思维法，将所有加数转换为“整百数减1”的形式，即“99=100-1;199=200-1;299=300-1……”此题就可化简成“100+200+300+400+500+600+700-7”，使计算变得十分简便。

3.逆向思维有利于打破常规思维方式，实现思想方法的跃迁

对于数学学科来说，重视学生逆向思维能力的培养，符合当前的教育需求，也符合小学生的身心发展规律。逆向思维可以触发学生从多维度思考问题，打破思维定势，实现思想方法层面的突破与提升。例如，“代数思想”的养成。虽然在一年级的教材中就对“代数思想”有所渗透，但如果教师不注重学生逆向思维的培养，则很难有效地引导学生建立初步的代数思想。如在解决“有9个苹果，吃掉了4个，还剩5个”这一情境衍生的数学问题时，学生在算术思想的思维惯性下，很自然地使用“4+5=9”或“9-4=5”的顺向思维运算结构，而极难自觉运用“4+（  ）=9”的逆向思维运算结构。这会导致学生在后续的方程学习中列出“[x]=4+5”或“9-4=[x]”等“有方程形而无方程神”的有“争议”的方程。若教师在算术教学过程中注重学生逆向思维的训练，就可有效避免这类问题的出现。

二、数学教学中逆向思维的培养方法

1.提供互逆问题，活化思考方向

在数学知识体系中，很多知识之间是存在“互逆性”的。其中，既有对等可逆，也有不对等可逆。教师应结合教学重难点，找出知识间的互逆点，巧妙地设置互逆问题，引导学生分析探讨，从而促进他们逆向思维的形成。比如，在教学“三角形的面积”时，学生在牢固记忆并熟练运用“三角形面积计算公式”的基础上，可以发现两个形状不同的三角形的底和高相同时，这两个三角形的面积相等。此时，教师可以抛出互逆问题“若两个三角形的面积相等，那么它们一定具有相同的底和高吗”，引导学生进行深层次地讨论和交流，从而达成对三角形面积计算公式的理解性掌握。互逆问题的设置打破了学生原有的思维模式，使学生感悟到运用反转型逆向思维法思考问题，可以实现对知识的深度思考，达成深度理解。

2.转换呈现方式，活化问题解决

运用转换型逆向思维灵活地转化数学问题，能够帮助学生简化问题、理清思路，找到解决问题的最佳途径。例如，在教学“三角形的面积计算公式推导”时，教师通常遵循教材的编写模式，利用“两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形”这一转化路径，将三角形的面积计算与平行四边形的面积计算联系起来，通过简单的对比和操作，验证学生对三角形面积公式的猜想。殊不知在此过程中，学生往往有一个不敢提出的疑问——“这样拼成的图形真的是平行四边形吗？”这个疑问是教師在课堂上无法回答的，也是利用学生的现有知识无法证明的。面对这样的现实，教师可以反其道而行之，将问题转换一个方向，引导学生任意拿一个平行四边形，沿其一条对角线剪开，这样就得到两个三角形，再用重叠的方式去验证这两个三角形是完全相同的。呈现方式的转换解决了学生的疑问，既巧妙化解了课堂上“无应答”的尴尬，又使学生感悟逆向思维的魅力。

3.利用实物直观，活化学教方式

直观的实物呈现有助于学生理解和掌握数学概念。教师要从学生的生活经验入手，先利用实物直观形象地呈现抽象的概念，再运用概念去解释生活中的现象，在此过程中，利用正、逆思维思考和内化，深化学生对概念的理解。如在进行“体积和容积”教学时，学生极难理解“空间”这一抽象而又实际存在的概念。教师若按概念教学的常规步骤——先介绍概念、再呈现实物的方式教学，学生最终得到的将是一个无法理解的文字性概念。若教师参考教材提供的范例，引导学生进行“投物水涨、杯满水溢”的实验操作，通过观察去体会看得见的实物是占空间的。通过直观实验引导学生理解“空间”的存在，利用“空间”的概念解释上述现象，帮助“体积”“容积”概念的建构，这种教学模式对学生逆向思维的形成有重要影响，能使学生触类旁通，更高效地学习知识。

（作者单位：宜昌市教育科学研究院）