对一个猜想的探究

魏国祥，李凤清，张青山

（四川职业技术学院 教师教育系，四川 遂宁 629000）

文[1]玩出了四个优美的几何不等式，并给出了一个猜想.

猜想设P 为ΔABC 内部任意一点，射线AP,BP,CP 分别交三边BC,CA,AB 于D,E,F 三点，交ΔABC 的

文[1]证明了当P 分别为ΔABC 的外心、重心、垂心及内心时猜想成立.

我们通过探究，证实了这个猜想.

为证明以上猜想，我们先给出以下引理.

引理三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，E 为边BC 上一点且直线AE 为角A 的平分线，记BE =x,EC = y,AE = l，那么l2= bc - xy.

证明记∠BEA = θ，由余弦定理有

x2+ l2- c2= 2xlcosθ,y2+ l2- b2= 2ylcos( π - θ )，那么就有

x2y + l2y - c2y = 2xylcosθ,y2x + l2x - b2x = -2xylcosθ，将两式相加得：

xy( x + y ) + ( x + y ) l2- ( xb2+ yc2)= 0，由三角形的角平分线定理可知yc2= bcy + xbc = ( x + y ) bc，故得l2= bc - xy.

命题1三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，E 为边BC 上一点且直线AE 为角A 的平分线，直线AE与三角形ABC 中的外接圆相交于F，那么

证明记BE = x,EC = y,AE = l,EF = s，由圆的相交弦定理可知xy = ls，由三角形角平分线定理可知，由引理可知l2= bc - xy. 那么

命题2三角形ABC 中，BC = a,CA = b,AB = c，D 为边BC 上一点，直线AD 与三角形ABC 的外接圆相

简证如图，设I 为ΔABC 的内心，射线AI 交边BC 于D′，交ΔABC 的外接圆于点A2，显然，A2是弧BC的中点，故A1到直线BC 的距离不大于A2到直线BC 的距离，因此ΔA1BC 的面积不大于三角形ΔA2BC 的面积，即SΔA1BC≤SΔA2BC. 由此我们知道∠BAC 的平分线时

命题3D,E,F 分别为ΔABC 三边BC,CA,AB 上的一点，射线AD,BE,CF 分别交ΔABC 的外接圆于点

简证由命题2 与均值不等式可知，

证毕.

≥9，故命题3 等价于下面命题.

命题4D,E,F 分别为ΔABC 三边BC,CA,AB 上的一点，射线AD,BE,CF 分别交ΔABC 的外接圆于点

当命题4 中AD,BE,CF 相交于一点P 时，即可得知文[1]中猜想成立.

命题5设P 为ΔABC 内部任意一点，射线AP,BP,CP 分别交三边BC,CA,AB 于D,E,F 三点，交ΔABC