整合边角关系，多解思路探究

张琪

[摘  要] 圆类复合问题的突破重点是整合图形的边角关系，合理构图，生成特殊图形，利用图形的特殊性质解题. 问题的解析思路往往不唯一，变换视角可生成不同解法，文章将对一道圆类复合问题进行解法探究，并开展解后反思，提出相应教学建议.

[关键词] 圆;边角;关系;整合;多解

圆是一种特殊的几何图形，中考常从知识综合视角对其加以考查，涉及三角形、四边形等基础图形，融合垂直、平行、相交等几何关系. 以圆为背景的压轴题图像往往较为复杂，问题图像不仅具有多图形相综合的特点，同时含有多种解题思路，可从不同视角进行突破，解析过程要把握图像特性，充分整合边角关系.

问题呈现，解答评析

1. 问题呈现

考题：（2020年浙江杭州市中考卷第21题）如图1，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF.

（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC=30°，求线段EF的长.

（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，

①求证：PE=PF.

②若DF=EF，求∠BAC的度数.

2. 常规解答

（1）求线段EF的长，已知∠BAC=30°和圆半径长，常规思路：解三角形求AB长，整合边角关系推导△OCB为等边三角形，由“三线合一”确定△AFB为直角三角形，推导出EF为Rt△AFB斜边上的中线，从而由边长关系确定EF长.

由条件可知△OAE为直角三角形，其中∠BAC=30°，OA=1，则OE=OA=，AE=EB=OE=;分析可知△OCB为等边三角形，点F为OC的中点，则BF⊥OC，△AFB为以∠AFB为直角的直角三角形，又知点E为AB的中点，由直角三角形斜边中线性质可得EF=AB=.

（2）①求证PE=PF，过点F作BE的垂线，设垂足为点G，交OB于点H，再连接EH，如图2所示，只需证明四边形OFHE为平行四边形即可，具体如下.

因为∠FGA=∠ABC=90°，则FG∥BC，所以△OFH∽△OCB，由相似性质可得==，同理有=，所以FH=OE，分析可证OE∥FH，所以四边形OFHE为平行四边形，则PE=PF.

②设定DF=EF，求∠BAC的度数. 证明FD=FB，推导FO⊥BD，证明△AOB为等腰直角三角形即可.

由OE∥FG∥BC可得==1，可推得EF=FB. 又知DF=EF，则DF=BF，结合DO=OB，可证FO⊥BD，所以∠AOB=90°，则△AOB是等腰直角三角形，∠BAC=45°.

3. 问题评析

本题目以圆为背景构建几何图形，主要考查几何性质，图形虽来源于教材的基本图形，但所涉条件包含圆、中点、垂直、特殊角等内容，具有豐富的内涵. 第（1）题求线段长，主要考查解直角三角形、等腰三角形“三线合一”特性、直角三角形的斜边中线性质. 第（2）题的①问由相似关系提取等线段长，借助平行四边形性质完成线段等长证明，其考查了相似三角形、平行四边形的判定及性质. 第（2）题的②问求角度，思路构建过程涉及了相似比例关系和等腰直角三角形证明，其核心是考查学生的构图能力.

思路拓展，多解探究

考题以圆为背景构建了复合图形，涉及垂直、中点、角度等特殊内容，无论是求解线段长、角度大小，还是证明等量关系，均需要整合其中的边角关系，构建特殊的图形（等腰三角形、直角三角形）、特殊关系（相似关系、全等关系）来辅助推理. 考题的突破思路不同，问题的解法也有一定的差异，下面进行思路拓展，探究多解方法.

1. 关于第（1）题

可过点F作AB的垂线，设垂足为点G，从而构建Rt△AGF，该三角形中含有特殊的30°角，可在该角中使用三角函数，从而得到相应的边长. 而在Rt△EFG中，可使用勾股定理来求EF的长.

详解：过点F作FG⊥AB，垂足设为G，如图3所示. 由条件可知Rt△ABC，在该三角形中，已知∠A=30°，AC=2，则BC=AC=1，AB=AC=.

同理在Rt△AEO中，可得AE=AO=，OE=AO=，可推知AF=AO+OF=. 在Rt△AGF中，可得FG=AF=，AG=AF=，则EG=AG-AE=. 而在Rt△EGF中，有EF==.

评析  上述解法思路的重点是对直角三角形的边角关系进行整合，借助三角函数进行边长推导，实则就是解直角三角形. 理解三角函数的内涵，掌握其对应关系及转化方式是学习的重点.

2. 关于第（2）题的①问

在几何问题中，若共端点且位于同一直线上的等线段，可以通过做辅助平行线来构建“8字全等”图形，从而证明线段等长. 同时由共线线段之间的比例关系可推导平行线段之间的数量关系，从而推导线段之间的长度关系.

解法1：（依托△ABO构建“8字全等”图形）

过点F作AB的平行线，交DB于点G，如图4所示. 分析可证△GOF∽△BOA，由相似性质可得==，所以GF=BE. 又知∠FGP=∠EBP，∠GFP=∠BEP，所以△FGP≌△EBP，由全等性质可得PE=PF.

解法2：（依托△OPF构建“8字全等”图形）

过点E作OF的平行线，交OB于点G，如图5所示. 分析可证△BEG∽△BAO，△OFP∽△GEP，由相似性质可得==. 又知=，所以FO=EG，从而可证△OFP≌△GEP，由全等性质可得PE=PF.

评析  上述解法思路的重点是构造“8字全等”图形，利用模型可构建相似关系，进而转化为线段关系，即整合相似图形的边角关系. 需要注意的是，基于不同三角形构造的模型有所不同，模型构造要依题而定. 在探究学习中要注意几何模型的总结，如“一线三等角”模型、“中点弦长”模型、“共边共角”模型等，理解模型本质，归纳模型结论.

3. 关于第（2）题的②问

对于该问的常规解法是构建等腰三角形，函数与几何之间有着紧密的联系，求解时还可以从函数视角进行条件整合，可建立直角坐标系，结合几何条件进行顶点坐标推导，通过分析顶点位置来判断角度大小.

详解：以点O原点，OB为x轴建立直角坐标系，设⊙O的半径为1，如图6所示. 分析可知点B（1， 0），D（-1，0）. 设点C（x，y），A（-x，-y），则点F的坐标为，，点E的坐标为，，可得EF的中点坐标为，0，即中点位于x轴上. 由于点P位于x轴上，则点P与EF的中点相重合，所以PF=PE. 由点D，E，F的坐标可得DF2=+12+2，EF2=-x2+y2，因为DF2= EF2，x2+y2=1，可解得x=0，y=±1，所以∠BAC=45°.

评析  上述是从函数视角进行的角度推导，通过建坐标系将几何条件转化为顶点坐标，进而完成角度推导. 建立坐标系，将几何条件坐标化是突破“数”“形”问题的有效思路，通过数形结合的方式可实现问题的高效作答.

解后反思，教学思考

1. 关于问题的解法思考

以圆为背景的几何题复合性较强，中考命题常利用特殊关系将基本的图形串联起来，如中点位置、垂直关系、平行关系等，求解复合型问题的基本思路是整合边角关系，将条件集中到特殊的图形中. 如上述常规求解第（1）问时将边角关系整合到直角三角形中，求第（2）题的①问时将边角关系整合到平行四边形中. 具体求解时的关键点有三个：①合理添加辅助线，挖掘图形隐含特性;②充分利用特殊图形，挖掘图形的特殊关系，如直角特性、全等关系、相似图形的对应边比例关系等;③执果索因，由结论出发探索成立条件，过程推导有理有据，思路构建清晰明了.

2. 关于问题的教法思考

本题目为圆类综合题，从解析过程来看，重点是进行边角关系的整合，主要考查特殊图形的判定及性质，引导学生掌握作辅助线、构造特殊图形的方法. 而在实际教学中不仅需要掌握作图构造的技巧，还应关注作图構造的思维过程，引导学生形成完整的思维链. 以上述第（2）题的①问为例，求证线段相等，显然需要将其放在特殊图形之中，可从相似图形、平行线的等分模型入手，利用等量关系代换来完成，显然作图时需添加平行线来构造相似三角形. 也可以构造平行四边形，利用其特性来证明，则作图时需要构建平行四边形. 教学时要让学生思考求证线段相等的具体思路，联想平行四边形特性、全等或相似三角形性质，引导学生独立思考作图方向，探索构图思路，以培养学生解题思维为教学重点.

3. 关于问题多解思考

上述考题在常规解法的基础上进行了解法拓展，形成了新的解题思路. 几何综合题的条件众多、图形较为复杂，也决定了可从不同的角度进行探究，可形成不同的解题方法. 以上述第（2）题的①问为例，可从平行四边形视角进行作图构建，也可基于相似关系构建“8字全等”图形，由全等特性来构建. 开展问题多解探索，不仅可以引导学生全面认识问题，还可以拓展解题思路. 在多解探究中要注重解图方法的教学，引导学生掌握图形“离析”的方法，透过图形整体，关注局部特征，分离特殊图形，挖掘特殊关系，由浅入深逐步认识图形，生成构造思路.