抓结构 拨迷雾 看本质*
——一类几何题简洁处理策略

安徽省合肥市一六八中学(230601) 武前炜

初中平面几何对于特殊三角形——等腰三角形、直角三角形的考查尤其多,往往需要重新构造几何图形之间的关系或者利用几何变换构造全等或者相似三角形,这就需要同学们根据图形特点适时添加辅助线.在实际的教学中,学生对于稍微复杂的几何图形,知道要添加辅助线,却又不知道从哪里加,如何添加更合理.本文以一类贯穿初中几何始终的问题谈简洁处理策略.

1 原题呈现

题目:如图1,已知:P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=4,求线段PC的最大值.

图1

图2

本题解法众多,以下从图形结构入手谈这一类辅助线添加入口.D点与本题关联不大,所以图形可简化为图2.

图中有A,C,B,P四个点,其中A,B,C三点形状确定-——等腰直角三角形,P为单独一个点,为了形象叙述起名为——流浪点,A,B,C三点始终形状确定为等腰直角三角形——温暖的家,辅助线的来源就是给流浪点(P)造一个同样温暖的家(等腰直角三角形),于是在B处为直角顶点造等腰直角ΔBPP′,如图3、图4.

从而图3可得ΔPBC∽=ΔP′BA(SAS)⇒PC=P′A,PP′=而AP+PP′≥P′A,即P′A≤3+当且仅当A,P,P′共线时取得最大值,从而PC最大值为3+同理图4中可得ΔPBA∽=ΔP′BC(SAS)⇒PA=P′C,PP′=而PP′+P′C≥PC,即PC≤当且仅当C,P,P′共线时取得最大值,从而PC最大值为

图3

图4

解题回顾:本解法从静态角度看是构造了一个等腰直角三角形,得到三角形全等,如图3中ΔPBC∽=ΔP′BA,如图4中ΔPBA∽=ΔP′BC;从动态角度看是将一个三角形作旋转变换,如图3中ΔPBC绕点B逆时针旋转90°至ΔP′BA,如图4中ΔPBA绕点B顺时针旋转90°至ΔP′BC.初中阶段常见几何变换有平移变换、轴对称变换、旋转变换,这些属于全……