“基于素养,能力立意”引领下的思维培养
——运动轨迹为圆的问题常见类型

浙江省宁波市镇海区仁爱中学(315200) 邓 俊

《普通高中数学课程标准》修订组提出了六大数学核心素养,即数学抽象、数学推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 作为核心素养之一的数学抽象,鲍建生教授曾在《高中数学课程标准修订中若干问题》一文中指出,其有以下四个方面的表现: 形成数学概念和规则、形成数学命题与模型、形成数学方法与思想、形成数学结构与体系. 由此可见形成数学模型是数学学习过程中重要的抽象,它的教学是培养学生抽象能力的重要环节. 如何让学生利用模型解决涉及动点的几何最值问题,这类问题综合性强、难度大,能全面考察学生对平面几何问题的解决能力,各省市中考时常将其作为压轴题. 解决这类问题最常用的一种方法是: 首先寻找动点的运动路径,在一类运动路径为圆的问题中难点往往在于如何发现圆,而有了圆以后问题也可以变得更为丰富. 既可以是线段的最值问题,也可以是角度,面积等常见几何量的问题. 下面就初中阶段常见的圆轨迹做归纳整理.

1 定点定长——圆轨迹

例1 如图1, 等腰直角ΔABC中, ∠ABC= 90°,AB=CB=2,CD=求∠BAD的范围.

图1

图2

分析: 因为CD=所以点D在以C为圆心,为半径的圆上(如图2). 当直线AD与⊙C相切时,∠BAD取到最值. 又因为2CD=CA所以当∠ADC= 90°时,∠CAD=30°,所以15°≤∠BAD≤75°.

小结: 到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆,而题目中的呈现方式往往会给出定点和定长,隐去它的轨迹. 解答时将其轨迹画出,可以使得解题变得更加直观. 当有……