信息技术环境下幂函数的教学实践研究

董慧

【摘要】教学“简单的幂函数”一课时，教师通过合理的设计在教学中融入信息技术，进行教学实践，结果表明：借助信息技术进行课堂教学，可以更好地帮助学生构建知识体系;依托信息技术进行课后探究，可以拓展学生的思维深度.信息技术和数学教学的全方位深度融合，不仅能够培养学生的数学核心素养、自主学习能力和知识构建能力，还能培养学生的表达能力、归纳能力、探究能力、协作能力和软件使用能力.

【关键词】幂函数;信息技术;教学实践;核心素养

【基金项目】安徽省教育信息技术研究课题——信息技术环境下的高中数学深度教学实践研究（AH2019167）;安徽省教育信息技术研究课题——基于“互联网+”利用数学文化开展立德树人教育研究（AH2020149）.

2012年3月13日，教育部发布的《教育信息化十年发展规划（2011～2020年）》（以下简称《规划》）提出“面向未来，育人为本;应用驱动，共建共享;统筹规划，分类推进;深度融合，引领创新”的工作方针.《规划》强调要加强现代信息技术与教育的全面深度融合，以信息化引领教育理念和教育模式的创新，充分发挥教育信息化在教育改革和发展中的支撑与引领作用[1].

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）也指出高中数学提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，教师要激发学生学习数学的兴趣，让学生养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展，注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性，不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值[2].

《规划》和《标准》都对当前传统的课堂教学提出挑战，传统的课堂教学以教师为中心，比较关注知识内容本身的讲授.这种课堂教学形式已不能完全满足当前学生学习发展的需要.随着信息技术的快速发展，当前课堂教学对教师的“教”和学生的“学”都提出了更高的要求.《标准》要求教师在课堂教学时要注意引导学生发现问题、探究问题、解决问题，培养学生的自主学习能力.

本文中，笔者充分利用现代信息技术，结合“简单的幂函数”教学内容，从课堂教学和课后探究入手，分析了一个信息技术与高中数学教学深度融合的教学案例，希望为高中数学课堂教学中信息技术的利用提供借鉴.

一、课堂教学借助信息技术让学生自主探究

建构主义理论重视以学生为中心的教学模式，强调在教学中激发学生的主动学习能力[3].利用信息技术，让学生借助教学软件对教学内容进行自主探究，不断发现问题、分析问题、解决问题，达成让学生构建完整的知识体系这一教学目的.

下面以“简单的幂函数”课堂实录片段为例说明.

【案例】PPT出示：

1.如果小明购买每千克1元的水果x千克，那么他需要付的钱数y=x元，这里y是x的函数.

2.若正方形的边长为x，面积为y，则有y=x2，这里y是x的函数.

3.若正方体的边长为x，体积为y，则有y=x3，这里y是x的函数.

4.若正方形的面积为x，边长为y，则有y=x12，这里y是x的函数.

5.若一辆车x 小时行驶了1 km，则该车的平均速度y=1x=x-1 km/h，这里y是x的函数.

师：同学们，我们观察刚刚出现的五个函数，y=x（正比例函数），y=x2（二次函数），y=x3，y=x12，y=1x=x-1（反比例函数），他们的函数解析式有什么形式特征？都有哪些共同点呢？

生1：指数为常数.

生2：都是以自变量x为底的幂函数.

生3：系数都是1.

师：很好，我们还能写出类似形式的函数吗？试一试.

生4：y=x4，y=x-12等等，太多了.

师：那你们能写出这种类型的函数的一般形式吗？大家一边思考一边想想我们刚刚发现的三个共同点.（用PPT呈现三个共同点）

生5：y=xm可以吗？

师：这里的x，y，m分别代表什么呢？

生5：x是自变量，y是因变量，m是常数.

师：很好，这就是我们今天要研究的幂函数，下面给出幂函数的概念：

如果一个函数，底数是自变量，指数是常量α，即y=xα，这样的函数称为幂函数.

师：接下来通过一道练习题检验同学们对幂函数的概念的掌握情况.

练习 下列函数中有几个幂函数？

（1）y=x2+x;（2）y=3x2;（3）y=2x;（4）y=3x3.

师：下面请同学们4人一组，用电脑上的几何画板软件，尝试画出α取不同数值时函数的图像，并通过图像总结幂函数有哪些特征.

学生作图后，分组提交，教师依次展示，验证分类是否正确.

师：首先我们来看第一组，老师发现第一组同学选的α的值都是正的.请来阐述你们得到的性质特征.

生6：我们组画了α分别为12，23，1，54，3，4時的幂函数图像，发现当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

（1）函数图像都经过点（0，0）和（1，1）;

（2）函数在区间[0，+∞）上是增函数.

师：同学们还有没有其他发现呢？可以从图像上升的快慢来考虑.

生7：在第一象限内，当α>1时，图像上升得比较快;当α=1时，就是正比例函数y=x;当0<α<1时，图像上升得比较慢.

师：补充得很好，现在我们来看看第二组同学提交的图像，这组同学选择的α值有正有负，刚刚我们已经总结了α>0时的情况，现在请同学们来看看当α<0时，幂函数有哪些性质？

生8：当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

（1）函数图像都经过点（1，1）;

（2）函数在区间[0，+∞）上是减函数;

（3）在第一象限内，图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.

师：大家总结得很好，我们有没有漏掉什么呢？

生9：α=0时的情况漏掉了，当α=0时，幂函数就变成了y=x0，此时就是直线y=1.

生10：不对，没有考虑定义域xx≠0，应该是y=1但是不包括点（0，1），它的图像不是直线.

师：大家从α<0，α=0和α>0三个方面进行分类并总结了幂函数的性质，下面请大家三人一组，一位同学出题目，第二位同学画出函数的大致图像，第三位同学用几何画板软件作图以检验第二位同学画得是否正确.画之前请思考，如何根据我们刚刚总结的性质画出大致图像呢？（用PPT展示刚刚总结的幂函数的性质）

生11：我画的是函数y=x-4的图像，先根据α<0时幂函数的性质画出在第一象限的图像，因为该函数是偶函数，偶函数图像关于y轴对称，进而作出函数的完整图像.

生12：我画的是函数y=x35的图像，我先是根据α>0时幂函数的性质画出在第一象限的图像，因为该函数是奇函数，奇函数图像关于原点对称，于是根据对称性作出完整的函数图像.

生13：我画的是y=x14的函数图像，由于该函数定义域是[0，+∞），且0<14<1，根据幂函数的性质，该函数图像在第一象限缓慢上升.

师：大家完成得很好，现在我们来回忆刚刚的作图过程，在作图的时候大家首先是根据幂函数性质作出函数在第一象限的图像，然后根据函数的奇偶性得到完整图像.

师：下面用一道例题为大家讲解幂函数的实际应用.

例题 当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2+m-1）x-5m-3为减函数，求实数m的值.

解 因为函数y=（m2+m-1）x-5m-3既是幂函数又是（0，+∞）上的减函数，

所以m2+m-1=1，-5m-3<0，

解得m=1.

在总结幂函数的性质特征部分，传统教学中，教师直接从熟悉的幂函数y=xα（α=1，2，3，12，-1）出发，给出图像，总结性质，无法让学生体会知识形成的过程，导致学生对幂函数的图像和性质认识不清，只能选择死记硬背.本案例中利用信息技术（几何画板软件），让学生自己画图、总结性质，既能让学生感受信息技术带来的直观体验，又能培养学生的归纳推理能力、协作能力和语言表达能力.同时，学生亲自体验幂函数的符号语言与图像语言之间的相互转化，有利于其数形结合思想的形成，也突破了综合应用幂函数的重点和难点.这些知识储备都为学生后续深入探讨幂函数的性质奠定了基础.

二、依托信息技术开展课后思考，拓宽学生的思维广度

学习可以理解为原有经验的迁移，只有当学生根据需要通过已有的知识自主建构新知识时，学习才会发生.当学习者意识到他们本身是学习者和思考者时，他们的学习过程才是成功的.依托信息技术开展课后思考，不仅能够培养学生的自主学习能力，而且可使学生在已有知识的基础上构建新知，拓宽学生的思维广度，加深学生的思维深度，更有利于学生本身的知识体系和学习框架的完善.

下面以“简单的幂函数”一课中的课后思考题为例进行说明.

【案例】如何根据α来确定幂函数的奇偶性呢？以α是有理数为例（任意有理数都可以表示成qp的形式，其中p，q∈Z，p，q互素，且p≠0）.

要求：大家将各自的结论发到QQ群，共同讨论，互相评价.

通过简单幂函数的学习，学生已经熟练掌握如何借助几何画板软件来辅助作图，进而探究幂函数的性质和特征.在巩固实践环节，学生通过画幂函数的大致图像，已经感受到探究幂函数奇偶性的重要性.通过课后自主探究，借助几何画板软件和网络资源，学生得到幂函数y=xα=xqp（p，q∈Z，p，q互素，p≠0）的奇偶性，具体见下表.

借助信息技术进行知识的探究和拓展，不仅可以培养学生的网络和软件使用能力、语言表达能力、归纳推理能力和交流协作能力，更重要的是学生通过自主探究，感受数学知识的形成过程，层层递进，拓宽了知识体系，加强了对深层次数学知识的理解.

三、信息技术与数学教学相融合，培养学生的数学核心素养

数学学科的核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[4].

本节“简单的幂函数”的教学主要从以下几方面培养学生的数学核心素养.首先从熟悉的函数实例中抽象出幂函数的概念，注重培养学生的数学抽象素养;其次借助几何画板等软件，通过函数图像研究幂函数的性质，注重培养学生的直观想象与逻辑推理素养;最后运用幂函数模型来解决简单的实际问题，注重培养学生的数学建模与数学运算素养.

将信息技术与高中数学教学深度融合，在课堂教学中借助信息技术帮助学生构建知识体系、在课后探究中依托信息技术拓宽学生思维广度.这种在教学中多方位、多层次地利用信息技术的教学模式，不仅能够培养学生自主学习、知识构建的能力，高效完成教学任务，还能激发学生的求知欲，培养学生表达、归纳、探究、協作和软件使用等综合能力.教师在教学过程中注重信息技术与数学课程的深度融合，不仅能提高教学的实效性，还能培养学生的数学核心素养.

【参考文献】

[1]规划编制专家组.教育信息化十年发展规划（2011～2020年）解读[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]温彭年，贾国英.建构主义理论与教学改革：建构主义学习理论综述[J].教育理论与实践，2002（05）：17-22.

[4]王磊.学科能力构成及其表现研究：基于学习理解、应用实践与迁移创新导向的多维整合模型 [J].教育研究，2016（09）：83-92.