关于导数“隐零点”问题的解读与探究

段惠莹

[摘  要] 导数“隐零点”问题十分常见，探究学习需要掌握“隐零点”的含义与确定方法，以及问题突破的方法策略. 文章剖析导数“隐零点”，归纳解法，并结合实例加以探究，提出相应的建议.

[关键词] 导数;隐零点;单调性;最值;不等式;范围

[⇩] 问题综述

导数是研究函数问题的重要工具，利用导数可以求解函数综合题，而导数解决函数问题最终都要归结于函数单调性的判断，函数单调性与其零点密切相关，故导函数的零点是解题的核心. 实际问题中导函数的零点有两种类型，从零点是否可精准求解分为“显零点”和“隐零点”. 其中“隐零点”指的是能够判断其存在，但不能或难以确定其极值. 相对于一般零点问题，导数隐零点问题在解决时有一定的差异，下面具体探究其解题策略.

[⇩] 实例分析

问题：已知函数f（x）=x2-x-xlnx，试证明函数存在唯一的极大值点x，使得e-2<f（x）<.

分析：由函数与导数知识可知，可导函数f（x）存在极值的必要条件是f′（x）存在零点x，原函数对应的导函数为f′（x）=2x-2-lnx，故需要判断其是否有零点. 解题的关键是证明x是唯一的极大值点，后續需化简表达式f（x）.

解析：已知原函数f（x）=x2-x-xlnx，对应导函数为f′（x）=2x-2-lnx，观察可知f′（1）=0. 令g（x）=2x-2-lnx，则g′（x）=，令g′（x）=0，则x=. 分析可知在

0，

上，g′（x）<0，函数g（x）单调递减;在

，+∞

上，g′（x）>0，函数g（x）单调递增;所以当x=时，g（x）取得最小值. 由于g

=-1+ln2<0，g（1）=0，g（e-2）>0，所以g（x）在

0，

上只有一个零点x，在

，+∞

上只有一个零点1.

g（x）的正负性就是f′（x）的正负性，可判断f（x）的极值情形.

分析可知x=x是函数f（x）唯一的极大值点，并且2x-2-lnx=0，x∈

0，

. f（x）=-

x-

+，所以f（x）<成立;又因为f（e-1）=e-2，而e-1∈

0，

，f（x）为极大值，故f（x）>e-2.

综上可知，e-2<f（x）<.

评析：上述求证x是函数的极大值点，使得e-2<f（x）<，而原函数的零点的不易求出故需要通过分析导函数的单调性，结合零点存在性定理来确定零点取值范围，进而证明不等式. 总体来看，其经历了求导函数、判断导函数的正负性、确定原函数的最值表达式等过程.

[⇩] 策略总结

导数隐零点问题的解析过程同样需要灵活运用导数的相关知识，其特殊之处在于需要关注其中的隐性零点，实际解析时把握特征、准确界定零点取值范围即可，可采用如下策略逐步突破.

第一步，由零点存在性定理判断导函数的零点是否存在，并构建零点方程f′（x）=0，结合函数单调性确定零点的取值范围;

第二步，将零点作为分界点，推导导函数f′（x）的正负性，判断函数f（x）的单调性，得出关于函数f（x）的最值表达式;

第三步，灵活变形零点方程，将其整体代入最值表达式中进行化简证明.

同时对于导数隐零点问题，需要重点关注其中的三个过程，包括零点确定性过程、最值表达式的变形过程及整体代入过程，具体内容如下.

（1）隐性零点确认，确认隐性零点可直接利用零点存在性定理，也可由函数的图像特征，以及题设条件来推导. 而隐性零点的范围界定，主要由所求问题来决定，解析尽可能缩小其取值范围.

（2）表达式的变形过程中，尽可能将复杂的表达式变形为常见的整式或分式，特别注意替换其中的指数或对数函数式，为后续的探究做铺垫.

（3）整体代入过程基于的是数学的设而不求思想，对于其中的超越式，尽可能化为常见的代数式.

[⇩] 方法实践

上述充分总结了导数隐零点问题的解题策略，并强调了解析过程需要重点关注的三点，该策略适用于多类问题中，下面结合实例进行实践探究.

类型一：不等式证明中的“隐零点”

例1 已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R），

（1）讨论函数f（x）的单调性及极值;

（2）如果函数f（x）有两个零点x和x，试证明-<2.

解析：（1）已知f（x）=lnx-ax，则其导函数为f′（x）=-a. 分析可知当a≤0时，f′（x）>0恒成立，则原函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值;当a>0时，f′（x）>0，0<x<，则原函数f（x）在

0，

上单调递增，在

，+∞

上单调递减. 所以函数f（x）的极大值为f

=-lna-1.

（2）可设0<x<x，则有ln

x

-ax=0，

ln

x

-ax=0，可得lnx-lnx=a（x-x），即=，所以--2=，可设t=>1，则ln>0，2---2ln=2-t--2lnt. 设g（t）=2-t--2lnt，则g′（t）=<0，即函数g（t）在区间（1，+∞）上单调递减，所以g（t）<g（1）=0，从而有<0，即-<2.

评析：上述第（2）问是关于导数零点的不等式证明问题，其中的x和x可视为是隐零点，设定两者的相互关系，构建代数式条件是解析的关键，后续采用整体代入的方式来简化问题式，并借助导数研究其取值范围，整个思路充分贯彻设而不求思想，简化了解题过程.

类型二：函数范围问题中的“隐零点”

例2 已知函数f（x）=（logx）2+4logx+m，x∈

，4，m为常数.

（1）设函数f（x）存在大于1的零点，试求实数m的取值范围;

（2）设函数f（x）存在两个互异的零点α和β，试求m的取值范围，并求出α·β的值.

解析：（1）可令logx=t，x∈

，4，则g（t）=t2+4t+m （t∈[-3，2]）. 该问设定f（x）存在大于1的零点，故方程t2+4t+m=0在t∈（0，2]上存在实数根. 由t2+4t+m=0可得m=-t2-4t（t∈（0，2]），所以m∈[-12，0），即m的取值范围为[-12，0）.

（2）该问设定α和β是函数f（x）两个互异的零点，则函数g（t）=t2+4t+m在[-3，2]上有两个互异的零点t，t，且t=logα，t=logβ，所以Δ=16-4m>0，

g（-3）≥0，

g（2）≥0，可解得3≤m<4，所以m的取值范圍为[3，4）. 根据根与系数的关系可得t+t= -4，即logα+logβ=-4，所以log（α·β）= -4，可解得α·β=.

评析：上述是关于参数取值范围问题，其中第（2）问设定了函数的两个互异零点，结合函数定义域可将其范围缩小，并构建相关的方程组，求出m的取值范围.

[⇩] 反思教学

导数是研究函数问题的重要工具，同样可用于隐零点问题中，上述所总结的三步策略及注意事项可用于多类型问题求解，是证明不等式、突破函数最值与范围问题的强有力的手段，下面开展教学反思，提出几点建议.

1. 理解隐零点定义，总结确定方法

“隐零点”本质上还是零点，是基于精准求解而设定的零点划分，学习时需要关注其本质，把握“难以精确定位”和“准确求极值”对“隐零点”的定义，故“隐零点”的存在性是一定的. 另外需要关注“隐零点”的确定方法，上述总结了零点存在性定理、函数图像、题设条件三种，理解方法原理，掌握方法技巧极为关键. 故教学中需要注重对“隐零点”两大内容的剖析，一是“隐零点”的定义设定，二是“隐零点”的确定方法，教学中可对比“显零点”，结合实例具体探究.

2. 归纳三步策略，强化解析思维

上述所归纳的“三步法”是求解导数“隐零点”的重要方法，构建了“零点判断→单调性分析→代入转化”的解析思路. 三步过程之间紧密相关，具有严密的逻辑顺序，严格按照该方法求解可实现问题的高效作答. 而在实际教学中，除了需要指导学生掌握“三步法”的构建思路外，还要注重解题引导，培养学生的解析思维. 让学生亲历探究过程，通过设问引导来完善学生的数学思维，从根本上提升学生的能力.

3. 掌握转换方法，积累变形经验

变形转换是求解导数“隐零点”问题的重要环节，将直接确定问题走向，该环节需要使用一定的方法技巧. 常见的转换方法有分离参数、变更主元、整体代换、分离函数等，对于涉及参数的不等式问题，可采用分离参数来简化，然后基于代数式构造函数来研究性质，同时配合整体代换实现函数的简洁化，而变更主元常用于导函数无法求出零点的情形. 教学中要指导学生掌握上述转换技巧的内涵，然后结合实例具体讲解，帮助学生积累简化经验，提升学生的运算能力.

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