解构教材重设课堂，让素养落地生根

李忠良

[摘  要] 灵巧的数学课堂需要教师灵巧的设计，从情景引入到知识生成，从师生互动到课堂总结，无不需要教师精准地解读教材，严谨地把控知识特征以及细致、灵活地引导和衔接学生活动. 文章以“任意角的三角函数”教学为例，探讨教学设计应如何进行，才能潜移默化地培养学生的数学素养.

[关键词] 灵动课堂;灵巧设计;灵活互动;合作探险;课堂生成;数学素养

笔者在2014年江苏省第9届高中数学高级论坛中开设了这节公开课，并得到了全省专家的好评，2018年笔者在教育部高中数学新教材（苏教版）审读试教工作中试教并汇报了这节课. 今天笔者以自身的上课经历和二次教学设计为依托，结合数学学科素养的培养，再次谈一谈自己的想法和感悟，力求让数学素养潜移默化地在课堂中落地生根，恳请读者和专家斧正.

数学素养虽基于我们常说的知识技能，但又高于知识技能. 数学素养包含广泛，笔者认为其中有一项重要的指标是学生要具备这样一种敢于探索和勇于思考的“主动性”，具备一种善于解决问题的“倾向性”. 一节好的课堂不是简单的复制教材，教师的智慧应体现在对教材的再开发、再创造，让学生真正有效地经历认知过程，并在这个过程中获得愉快的经历、学习的动力、求知的欲望，从而逐渐养成着数学的素养.

[⇩] 教学设计前期思考

1. 宏观上确定“一条主线、两个逻辑段、三个学生活动环节”的整体设计框架

总体来说笔者对本节课的设计思路是：一条主线、两个逻辑段、三个学生活动环节.

一条主线便是任意角三角函数的定义推广的必要性及其价值，也就是开头的课堂引入要突出 “必要性”，而课堂后面的小节，又要回归到新定义的作用，升华其价值.

两个逻辑段是指笔者尝试性地把本节课分成这样两个阶段，课堂前半段讲的是任意一个已知角的正弦值、余弦值、正切值的定义，而非三角函数的定义，为了区分概念，不妨称之为三角函数值的定义. 为了证实自己的想法，笔者查阅了资料，发现在很早以前的一些版本的课本里也称之为“三角比”，是“数值”而非“函数”. 课堂后半段才突出其“函数”性，当α变化时，正弦值也随之变化，这种对应关系是否符合函数的定义. 从时间的分配上来看，第一阶段对于定义的学习和强化应是主体部分，占相对多的时间. 另外一点就是，因为学生活动相对丰富，考虑到时间关系，笔者把三角函数值在四个象限的正负判断问题安排到了下一节课，本节课暂不做讨论. 既然是探索，就允许进行大胆的创新，给大家展示一节不拘一格的教学设计.

三个学生活动环节是指本节课预设的学生活动的发生点. 诚然，广义的学生活动是时时刻刻都在发生的，只要学生的思维在跟教师发生碰撞，都可以称之为学生活动，抑或是任意时刻的举手提问，都会产生即兴的课堂活动，但这里笔者说的三次学生活动是教师预设的主动留给学生分组讨论并交流展示的活动过程. 其中，第一次活动是情境引入时，预设结果是通过学生活动，引出本节课推广三角函数定义的必要性. 第二次活动预设是学生阅读课本讨论教师给出的三个小问题，比较高中的定义与初中的定义的区别与联系，需要指出的是，考虑到三角函数的定义在数学发展史中本就是一个复杂而漫长的过程，不是一蹴而就的，很久以前科学家甚至只能认为行星轨道是圆形，经过长时间摸索，直到欧拉把三角函数定义为一种比值，用比值来刻画三角函数值，进而出现sinα=的模型，所以在“为什么如此定义三角函数值”的问题上，没有安排学生活动，而是改为阅读课本的描述，讨论问题，对比初高中所学三角函数定义，欣赏推广后定义的美感. 第三次活动预设是在课堂的后半段，讨论当α变化时，正弦值也随之变化，这种对应关系是否符合函数的定义.

2. 微观上逐字逐句研读课本，解构教材

课本上的表述非常简洁精炼，正因如此，有些词语和字母含义的解读就需要我们在推敲课本内容时做到“咬文嚼字”. 本节课里笔者认为有两个地方需要教师仔细推敲，一处是，在课堂的前半段里，虽然α是一个任意角，但却暂时只看做是一个常量，按照定义分别求出的sinα，cosα，tanα的值，称之为角α的“正弦值、余弦值、正切值”，此时称其为角α的“三角函数值”而非“三角函数”，学生是容易接受的. 经考证在曾经的老课本里也曾叫做“三角比”. 另一处是，当α变化时，在考虑α与其正弦值的对应关系是否构成函数关系时，α充当“自变量x”的角色，而来充当“因变量y”的角色，两处的y的含义是不同的， “”中的y只是α终边上一点的纵坐标，而非函数定义中的因变量y，在实践中，学生是容易混淆的. 另外，类比函数定义中的“y=f（x）”的形式结构，我们可以把正弦函数写成“y=sinα”的形式，这样从结构上，相对于课本上的“sinα是正弦函数”，学生是容易接受的，学生对新概念的接受过程需要教师细致入微的指点.

精彩发生在课堂，前提是教师把工夫花在课外，概括能力和逻辑分析能力都是数学素养的内涵，教师只有把要传授给学生的东西自己先准备好，课堂教学才能有事半功倍的效果.

[?] 教学设计片段展示

1. 重设情境引入

首先，正弦、余弦、正切这些概念学生并不陌生，因为学生初中就学习过锐角三角函数值的定义，已经可以在直角三角形里通过边长比值求其中一个锐角的正弦值、余弦值以及正切值，而本节课要学习的是任意角的三角函数，从锐角到任意角，我们不禁思考为什么要推广呢？是哪些问题促使我们必须学习任意角的三角函数的定义的呢？不解决这个问题，本节课的引入就会显得生硬，不自然.

【设计一】

刚参加工作时，笔者是这样引入的，提供大家熟知的摩天轮情境，过程如下：

播放摩天轮图片.

教师提问：“哪位同学坐过摩天轮？坐摩天轮有什么感觉？”

学生的答案里基本上会体现出“圆周运动”“高度在变化”“高度的变化不是匀速的”“高度的变化和角度有关”等信息.

教师提问：“为什么会有这些感觉呢，既然高度在变化，角度也在变化，那么它们之间有关系吗？”“假如某一时刻你停在某一个位置，你可以借助相应的角来计算你所处的高度吗？联想到刚才课前阅读中提到的，数学家和物理学家们当年在研究天文学的过程中当需要确定圆周运动上某一点的位置的时候也遇到了这个问题，他们是怎么解决的呢？我们今天就来探讨这个问题. ”

以上的引入方式只能说中规中矩，细细琢磨，这不能让学生感受到因发现而获得数学的兴奋. 本来借助初中的定义也可以计算高度和锐角的关系，为什么一定要推广呢？不把这个“必要性”引出来，这个情境引入就起不到我们最想要的效果，甚至有“为了引入而引入”之嫌.

【设计二】

在2014年江苏省第9届高中数学高级论坛中笔者又再次开设了这节公开课，在反复琢磨和推敲后，做了一个大胆的尝试，为了引出“必要性”，就要把初中所学的方法的“短板”引出来，于是笔者决定在情境引入这个环节增加3～5分钟的学生活动.

在把摩天轮问题抽象成平面几何图形并建立如图所示的直角坐标系之后，给出如图1和图2的两种位置情况，已知摩天轮中心O离地面高度为50 m，摩天轮半径为40 m，即OP=40，让学生讨论并展示如何求P点位置离地面的高度.

学生经过简单讨论基本上可以找到这样的方法：图1中，构造出Rt△OMP，则∠MOP=30°，于是MP=OPsin30°=20，P点位置离地面的高度为MP+50=70（m）;图2中，构造出Rt△OMP，则∠MOP=30°，于是MP=OPsin30°=20，P点位置离地面的高度为50-MP=30（m）.

此时教师应适时地提出这样一个问题：“如果P位于第一象限或第四象限，是否也可以构造出相应的直角三角形，然后利用初中的锐角三角函数定义求出相应的长度，再用50加上或减去这个长度来解决呢？”“那么四个象限再加上坐标轴，我们只要分类讨论，最后总是可以建立高度和角之间的关系的，只不过，这个方法实在太过烦琐. 能否避开分类讨论，用一个关系式来直接描述高度和角之间的关系呢？下面就让我们打开课本，看看数学家们是怎么做的. ”此时就引出了初中定义的短板，和学习新定义的必要性，这个情境引入便较之前更有效地让学生从已知问题过渡到了探索新知识的情境中来，实现了情境引入最核心的价值.

把生活中的问题抽象为数学问题，进而分析问题、解决问题，恰恰是数学建模能力的养成过程. 学生在做中学，在做中发现问题，获得数学体验，此时学生激发了求知欲，愿意去学，这不就是我们一直要培养的数学素养吗？

2. 重设“问题串”引导学生活动

第一次学生活动前文中已探讨，接下来笔者把课堂内容分成了两个逻辑段，第一个逻辑段是任意一个已知角的正弦值、余弦值、正切值的定义;第二个逻辑段是當α变化时，正弦值也随之变化，这种对应关系的“函数”性的确立. 流程大致为“阅读课本—分组讨论教师抛出的问题—交流展示—教师点评和总结”，于是两次问题串的设计，便是达成本节课堂内容最重要的环节之一.

连续递进的问题以保持学生们处于连续“忙碌”的动脑状态，并能很好地点燃他们的好奇心和想象力，可以不停地培养学生的求知欲，燃起对数学的热情.

第一阶段以强化定义为主，问题串设计及教学过程如下.

教师过渡语言：“现在把时间交给你，请大家阅读课本第11页（苏教版必修4），从开头至本页倒数第二行，并结合课本上的三个图形，小组讨论下面三个问题. ”

问题1：初中课本上是怎么定义锐角的正弦、余弦、正切的？

问题2：在直角坐标系中，是如何定义锐角的正弦、余弦、正切的？

问题3：在直角坐标系中，是如何定义任意角的正弦、余弦、正切的？

问题4：课本上的定义和初中时定义的相同点和不同点是什么？

学生展示的过程中，不可忽视教师的主导地位，教师要一边倾听学生的观点，随机应变，一边结合学生所说，强化定义.

第二阶段突出“函数”性，问题串设计及教学过程如下.

教师过渡语言：“有了前面的基础，我想对大家提出更高的要求，下面，请同学们阅读课本（苏教版必修4）从第11页最后一行至第12页第5行，并思考下面两个问题. ”

问题5：函数的定义是什么，你还记得吗？你能提取出哪些关键词？

问题6：当α确定时，正弦值sinα=的大小与P点的位置有关系吗？

问题7：当α变化时，正弦值、余弦值、正切值随之变化，这种对应关系符合函数定义中对“对应”的刻画吗？如果是，谁来充当“自变量”的角色，谁来充当“因变量”的角色，“法则”是指的什么？

问题一环扣一环，每一个问题都在为下面的问题“铺设台阶”，而教师就是“幕后推手”. 这样的问题解答，学生们有空间和时间去思考，想办法解决，给了学生发展感知的空间，让学生在每个问题中找到自己的“惊讶”和“顿悟”，从而更迫切地想解决下一个问题，在一个个问题中培养认知能力.

3. 灵活发挥教师主导和衔接作用

第一阶段中，在和学生的交流过程中，教师应有意识地强化定义，笔者的叙述设计如下：“这里面半径是OP的长度，如果知道横坐标和纵坐标，可以用勾股定理来计算r=（r>0）（注意这里r>0），P点不能与原点重合，定义中一共有几个量？四个，隐含着一个r=（r>0），那么，是不是知道一些量，就可以去求另一些量呢？比如在sinα=中，如果知道y=2，r=3，我们就可以求出sinα=;反之，如果知道sinα=，r=10，就可以求出y=8. 而例1不正是在告诉我们这个道理吗！”接下来便是笔者对例1的板书、一组口答题的互动，以及学生对练习的展示，在这个过程中，进一步强化定义的核心价值和使用规范.

第二阶段中，笔者在学生的回答中梳理出函数概念的几个关键词，比如“非空数集”“每一个x”“唯一确定的y”，函数定义的核心是“对应”.

问题6的解决就是针对“唯一确定”而设计的，用“比值”来定义三角函数值的其中一个好处便是，当α确定时，正弦值sinα=的大小摆脱了P点的选取位置的影响，实现了“对任意一个确定的α，正弦值sinα=是唯一确定的. 问题7仍然围绕着函数的概念在讨论，类比函数y=f（x）和正弦函数y=sinα的形式结构，α充当“自变量x”的角色，而正弦值sinα即来充当“因变量y”的角色，“sin（）”充当符号 “f（）”的角色，其法则便是刚刚所学的“找终边、选点、求坐标、算比值”的这样一个过程. 需要给学生强调的是，中的y只是一个纵坐标，而不是函数概念中的因变量y，课本上字母的使用十分简洁，学生容易产生误解，教师需要解释清楚.

在讨论完最后一个问题“既然三角函数也是函数，那么它们的定义域分别是什么”后，本节课的新知探索就基本完成了.

学贵有疑，学贵有问，通过问题串逐步引导学生学会利用抽象与概括、归纳与演绎等思想方法，有效地提高学生的理性思维核心素养. 当学生讨论问题时出现冲突、概念不清时，教师及时答疑解惑，这是教学的灵魂，这是机器和软件所不能代替的. 通过教师的解释和引导，让学生的困惑得以解除，从而提高学生获得分析问题能力的素养，让学生的“尖叫声”更加真实，尽显顿悟之艺术.

[⇩] 对教学设计的反思

1. 大胆解构教材，实现高效的“概念过渡”

我们知道，从常量数学到变量数学，其过渡是不容易的. 无论是本文所用的苏教版还是人教版，课本里从“正弦”的定义到“正弦函数”的定义，都呈现得比较直接，跨度较大. 虽然上面的教学设计已经在重点解决这个问题，力争让知识衔接得更自然，但心中还是略有一点遗憾，也有一点思考，那就是，如果时间允许，在“正弦”的定义和“正弦函数”的定义之间，在课本例题的基础上再加一道例题“利用正弦定义，求角的正弦值，进而举一反三求角，，的正弦值”作为知识的过渡，也许会让知识的生成更自然，让学生感受到朴素的变化关系，每一次使用定义的过程就是后面正弦函数“法则”的一次呈现. 巧合的是，在最新版的苏教版数学教材中，已经加入了这样一个例题.

2. 灵动的课堂有助于激发更多的课堂的生成

有一个小插曲使笔者深感教师不可太“强势”，学生展示的过程中，教师不能强行引导学生朝着自己设计的方向走，这种强行“扶着走”的场面看似热闹，其实却掩盖了学生自己主动思考问题的能力和積极性. 在一次开设这节公开课的过程中，笔者遇到过这样的问题，当问到“那你觉得高中的定义和初中的定义哪个有优势”的时候，一个学生说“初中的有优势”，其他学生感到诧异，因为这明显不是教师“想要”的答案，教师想要的答案应该是“初中只能求锐角，现在能求任意角;初中用的是长度，高中用的是坐标，长度是个正值，坐标是有正负的”等等. 但是笔者抓住机会肯定了他：“那当然了，我也觉得初中的定义好，因为我用着熟练啊，而且，如果它不好，那为什么要先学它呢？高中的定义你觉得麻烦，原因是我们今天第一次学习，尚不熟悉，当有一天你可以熟练使用之后，你也会喜欢上它. 事实上，高中的定义包含着初中的定义，这也是推广一个概念或结论必须遵循的原则. ”

对于教师来讲，这一段师生交流反倒是一个意外的“惊喜”，当学生创造性地表达自己的思想和观点时，我们要给学生展示自身思维的机会. 这有利于学生思维的迸发，在思维的碰撞中，数学素养已悄然落地.

3. 重设知识拓展，助力数学素养落实

在本节课的教学设计里，如果条件允许，笔者愿意加上一段基于数学发展史角度的总结陈述，对学生的知识体系建构是有益的. 在数学发展史中，三角函数形成的过程是漫长的，先有生活中的需求，然后人们经过思索产生一个灵感，尝试建立它们之间的等量关系. 在笛卡尔发明坐标系之后，和其他很多学科一样，三角函数也得以发展和完善. 当然，要实现所建立函数的合理性，也是经过漫长的探索，比如“唯一确定”如何实现等，其出现过好多个版本的定义. 直到1748年，欧拉把三角函数定义为一种比值，用比值来刻画就完美地摆脱了选取点的距离的影响，后来才出现了sinα=的模型. 在很多科学家眼中，三角函数的出现为函数大家庭提供了一种周期性的数学模型，很好地丰富了函数这个“大家庭”. 这个过程中每一步的前进都耗费了数学家们无数的心血，我们今天可以看得更清楚，是因为我们站在了巨人的肩膀上.

如果学生了解相应的数学文化背景，会对其理解新知提供巨大的帮助，同时，当数学文化真正到达课堂，融入教学之时，学生也必然会进一步理解数学，热爱数学.

[⇩] 结束语

在数学课堂上，教师应让学生真正有效地经历认知过程，让他们感受到数学是有活力的，充满着有趣的问题和新的思考方式，以激发他们学习更多东西的欲望，更好地培养他们的数学学习能力，从而使他们慢慢养成一种积极的学习状态. 一旦学生具备了这种主动性，他们的数学素养就切实地提高了.

每个学生都有获得数学素养的需求和能力，开始时的表达效果可能还不是最终的素养体现，但笔者相信，讲授数学的主要目的是培养学生的数学思考能力，并帮其转换成数学核心素养. 从教师灵巧的教学设计开始，让数学素养落地生根.

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