渗透思维监控的数学解题教学示例

张昆 张乃达

[摘  要] 数学解题解题活动具有重要的教学价值. 数学思维监控对于探究数学解题思路、选择解题路径、降低数学解题环节中的计算量具有定向、控制与调节作用，是通过数学解题思维活动过程必须培养的一项重要的教学目标. 文章以一道高考题的探究解题思路的实例说明之.

[关键词] 数学解题;思维监控;教学设计

数学问题解决的教学价值在于：其一，培养学生的基本能力，提高学生独立地分析问题、解决问题能力以及创造能力;其二，加深与巩固所学习的基础知识，启发学生积极思考，提高学生的数学兴趣;其三，帮助学生在真实的数学问题解决中形成具体的解决问题的方法;其四，萌生数学问题解决的思维品质，如深刻性、批判性、灵活性、敏捷性等思维品质;其五，促使学生体验自己的思维方式，感受思维环节中的某些要素的作用，如数学思维监控系统的体验与感悟;其六，训练依靠直觉思维获得解题思路并转化为说服他人的逻辑表达的能力. 本文举例说明思维监控结构在数学解题中的作用.

[?]从一个数学解题教学的例子说起

为了理清数学思维的监控结构的概念，为实际数学解题课堂教学渗透数学思维监控找到现实的依据，我们选择一个典型的解题活动的例子，并从这个例子中的探究解题思路的心理活动说起.

例1 （1983年全国高考数学卷·理·题四）计算行列式（要求结果最简）：

sinα  cos（α+φ）  cosα

cosβ  sin（β-φ）  sinβ

sinφ  cos2φ     cosφ

關于这道题解题思路的探析，利用《数学教学论》讲授“数学问题解决教学”的处理策略的机会，在高师师范三年级数学师范生课堂上，笔者首先呈示了这道高考题，并且要求学生尽可能快速地分析获得解决这道题的思路. 结果发现，一部分学生不假思索地利用三阶行列式的展开途径，解决了问题;一部分学生虽然也采用了行列式展开的方式，但在课堂上有限时间里，没有得到解决问题所要求的最终结论;还有一部分学生运用了行列式的相关性质，而没有进行行列式展开，比较简捷地解决了问题;另外一部分学生虽然准备使用行列式性质，在有限时间内却没有得到问题的最终结果. 现通过采访使用行列式性质解决问题途径的学生，将利用行列式性质探究解题思路的想法叙述如下：

首先，这部分学生认识到，这是一个三阶行列式，可以将行列式展开，使其形成一般性的数式变形运算，部分学生直接据此想法展开了行列式，部分学生没有展开（因为，他们产生了更深层次的思维分析）.

其次，展开行列式与未展开行列式的学生，都遇到了同样的问题，由于展开行列式产生了六项求和运算的形式，再加上这个和式的每一项的因式中具有两角和、差或二倍角的三角展开式，如此，又在前述和式的各项中生成的两相和的因式，从而又分成了十二项的求和运算，每一项中具有三个因子，如此，通过分组分解因式的变形活动将会非常烦琐（当然，因为笔者叙述所花费的时间比较多，所以学生的思考没花多长时间便可以完成这种结论. 为了行文方便，记这种解题活动为“展开式方法”），虽然可以解题，但解决问题的技术途径比较繁杂，将会花费不少时间（那些没有展开行列式的学生就是使用思维分析的途径，这便是思维监控的内涵所在）.

再次，由此想到可否抛开“展开式方法”解决问题.

最后，过渡到了审视这个行列式中的元素之间的关系，考虑能否利用其整体结构性，进而考虑可否使用行列式的相关性质获得解决问题的思路，最终决定使用行列式性质使相关的信息生成解构的途径，来寻找解决问题的思路，这是一个非常好的想法. 于是，笔者决定采用这种探究思路的方法（为了行文方便，这种方法简称为“结构性方法”）.

在“结构性方法”的数学观念指引下，这部分学生意识到首先使用行列式中的一行（如第三行中）的三个元素，试图寻获这三个元素之间可能存在的某种关系，有学生说，他是先将cos2φ展开成cos2φ-sin2φ，结果发现将第三列乘以cosφ，第一列乘以sinφ的相反数，将数乘变换后的第三列加到第一列上去，就使得第三行第一列上的那个元素成为cos2φ，与第三行第二列上的那个元素相同了，检视第一、第二行中的元素之间经由数乘以后的关系，也得到了与第三行相似的结果，意味着问题已经得到了解决. 现将这部分学生关于例1的这种“结构性方法”解答过程实录如下：

sinα  cos（α+φ）  cosα

cosβ  sin（β-φ）  sinβ

sinφ   cos2φ      cosφ（等式的性质，行列式的性质）=-·-sinαsinφ  cos（α+φ）  cosαcosφ

-cosβsinφ  sin（β-φ）  sinβcosφ

-sinφsinφ  cos2φ     cosφcosφ（利用“第三列加到第一列上去，行列式值不变”的性质）=-·cosαcosφ-sinαsinφ  cos（α+φ）  cosαcosφ

sinβcosφ-cosβsinφ  sin（β-φ）   sinβcosφ

cosφcosφ-sinφsinφ   cos2φ      cosφcosφ（利用相关的三角恒等式公式）= -cos（α+φ） cos（α+φ） cosαcosφ

sin（β-φ）  sin（β-φ）  sinβcosφ

cos2φ    cos2φ    cosφcosφ

（两列相等的行列式的值为零）=0.

这是关于三阶行列式的运算或者变形的问题，关于运算或变形能力，十三院校协编组编制的《中学数学教材教法》在论述关于“运算能力”的教学目标时指出，“我们加上了‘正确、迅速与合理的要求. 其实，只有在运算中具有了‘合理的要求，即只有运算步骤、运算过程完全合理，才能实现‘正确、迅速的这种要求，反之，要实现‘正确、迅速的要求，运算也必须要‘合理.”[1]要实现运算的“合理”性，就需要特别强调不能进行盲目运算，盲目性的操作往往使得解题活动过程事倍功半，因此，要发挥思维对于运算步骤、运算过程的指导作用. 那么，在数学解题教学活动中，如何实现数学思维对于数学运算的指导作用呢？为此，我们引入“思维的监控结构”这个概念加以说明.

[?]数学思维的监控结构

通过数学问题解决的思维心理学的研究认识到，在主体的认知结构中存有一个所谓的“思维的监控结构”. 思维监控结构内涵的实质就是，在面临具体问题时，思维者对于自己的思维及其指导下的操作活动行为的可行性或优劣层级能够自我意识、自我提醒、自我评价与自我把握，或者就是对认知结构中的发动思维活动某些方向做出认识、评估，进而进行达到结论的可能性的价值判断，最终做出选择或者放弃趋近这个方向的思维路径，简单地说，这就是主体对于自己的认知活动自身的认识. 关于思维的监控结构，使用一种形象的说法，就是在思维的指导下采取行动时，主体的意识结构中似乎有两个人，其中一个人在行动，另一个人在评价那个行动的人所发出的行为是否正确、可靠，从而提醒那个行动的人是否选择或放弃正在执行的行动过程.

那么，在数学解题活动中，当主体面对有些相当难度的问题时，思维监控结构可以发挥怎样的作用呢？长年的解题活动与解题教学经验，使我们认识到，思维监控结构在数学解题思维的过程中具有定向、控制与调节等方面的作用.

其一，定向. 思维监控结构的定向作用主要体现在主体对于自己的思维方向的选择上. 它表现在对于面临的外在提供的客观数学化信息的某些要素所组成的轮廓的价值、难度、性质，趋近于最终的解题结果的可能性，思维运动向度的恰当与否做出估计、评价与判断，从而在启动行为时做出方向上的选择.

思维的定向表现在对于思维的课题是否合于某种价值的判断;还表现于在思维探索方向的选取上，评价这个方向对于问题的解决是否有前途，或者估计这个方向所遇到的困难，所花费的时间等都有所预计. 因此，思维监控结构中的定向，在启动思维时，于可能产生的众多方向中确定某一个主攻方向，这个方向对于决定后来的环节具有非常重要的作用，它决定了这个方向是否可以解决问题，在能够解决问题的前提下，完成这个方向的具体活动是简洁的，还是烦琐的，因此，在数学解题活动的教学中，特别要注意培养学生的思维定向这一环节，它直接关乎解题的成功与否，或者解题所花费的代价的高低.

例如，在探究例1这道题的解题思路时，在思维的起始处，所有的学生都没有绕过“展开式方法”的这一步，在形成这种思维方向以后，有的学生不加思索而盲目地按照这个方向具体地执行下去. 由于过于复杂，结果大部分学生没有走到最终答案就停止了行动. 此时，对于这批学生来说，如果给予他们充足的时间，其中的一部分学生可能想到选择其他的方法（“结构性方法”）解决问题，另一部分学生可能放弃这条思路了，这部分学生主要就是没有充分意识到自己的思维监控结构所发挥的定向作用;还有一些学生在使用“展开式方法”时，没有盲目地跟进计算操作，而是对于这条思路采用的思维手段加以估计、评价与判断，认为这条思路解决问题途径漫长，可能会事倍功半. 于是，转化为使用“结构性方法”这种途径的方向上，如此，认识结构中的思维活动就努力趋近于这个方向.

其二，控制. 思维监控结构的控制作用主要体现在主体对于自己的思维方向的控制上. 数学思维的监控结构不仅体现于思维的起点与定向环节，而且贯穿于整个数学解题的思维活动过程之中，这是因为，对于具有一定难度的数学问题，探究思路活动的过程将会呈现于由多个环节所组成的探究活动，其中的每一个比较难的环节都需要启动与定向，从而表现为思维活动的控制上. 它对于思维活动所组成的环节不断地进行自我评估、判断，从而实现每一个环节对于解题结果的作用.

思维的控制表现在对于解题主体认为正确的、有发展前途的那种思维方向的活动给予鼓励;对于那些干扰信息，或者由思维结构所估计到了的那些虽然可以解决问题但是需要巨大代价的思路做出摒弃或排除;并且对于思维活动的可能进展做出评价;对思维过程中可能出现的错误及时地识别、纠正与弥补. 主体对于思维活动的控制，还表现在对选择的思维策略所具有的清醒态度，在于正确区分猜想与事实，等价转换与非等价转换的认识上. 总之，对思维过程的控制是思维预见性与思维实际发生过程相比较的结果，它是进一步对思维过程做出调整的根据.

例如，在探究例1的解题思路时，学生在使用“结构性方法”解决这道题时，如果解题主体探究行列式的“三列”之间数式关系，他可能就会采用将第一列与第三列进行相应的处理，从而获得处理结果与第二列的具体数式关系. 他可能选择其中非常熟悉的一行（例如，第三行）中的某个要素作为特例来展开研究，如此，就将思维活动控制在找到解决这种设计的具体操作技术途径上了，并且坚定地认识到了这种“结构性方法”比“展开式方法”要优越得多的结论，从而坚定了放弃“展开式方法”而选择“结构性方法”的途径.

其三，调节. 思维监控结构的调节作用主要体现在主体对于自己的思维方向的调节上. 调节是思維监控结构对于思维活动过程做出评价后采取的应变决策，正是这种调节的作用，才使思维活动成为一种有目的、有控制的组织活动. 在长期实际解题活动中，我们发现许多学生在某一条思路上原地设圈，形成了一种封闭的循环路径，这可能与其数学知识、解题经验等有关，但更重要的是，与他不善于进行思维的调节有关;可能也与数学教师没有细心地培养学生的数学思维监控结构有关.

例如，在探究例1的思路过程中，从“展开式方法”转化为“结构性方法”就是思维监控结构之下的思维调节活动的过程，其实，这种思维调节活动展现了数学思维的灵活性品质. 如果一个学生不能从“展开式方法”转化为“结构性方法”，那么他就会花去许多考场上宝贵的时间，还不一定能够达到最终的这个简化结果，这将是得不偿失的. 由于创造性的数学思维活动在解题时是一种不断尝试的过程，因此，必要时就需要经常对思维过程及其成果做出调整[2].

[?]渗透思维监控结构在课堂教学中需要注意的问题

关于通过解题活动过程向学生渗透数学思维监控结构，在中学数学课堂教学中，教师特别要注意的是，不能将这种“展开式方法”与“结构性方法”直白地提供于学生，那样就会极大地损失数学解题思维活动的教学价值，应该由他们自己选择，首先出示问题，进行课堂布白，鼓励学生自行思考探究问题的思路，这样学生就会自行地发现解决问题的不同路径或方向;然后，对于这些路径或方向自己依据各种不同的线索，进行比较与价值评估，从而选择最优化的方向或途径，这正是通过解题教学活动过程，渗透思维监控结构的途径所在. 如此，才能比较好地实现在数学解题教学中渗透数学思维监控结构的目的.

[?]简要结语

在数学解题活动过程中，真正的解题智慧并非有一套固定不变的原则可依循，而是对应着不同的现实问题的难局，有恰如其分的不同對策，这种“难局”及其产生的“对策”必然需要思维的监控结构的帮助才能实现[3]. 所以愚昧的人，偶尔也会出现深具智慧的反应;倒是聪明的人往往因为紧守着某些原则，遂做出错误的判断来. 因此，数学问题解决中的大智慧其实是“无心”的，不会被既有的原则、经验和思考方式所局限. 能灵活、弹性地深入变动诡谲的难局里，洞见常人所不能见的问题核心，察知常人所不能知的长远发展，而其拟定的对策，也往往出乎常人的想象，甚至初看起来是违反常识的，唯有等到问题完全解决，才能看清这深远通透的智慧来.

参考文献：

[1]  十三院校协编组. 中学数学教材教法（总论）[M]. 北京：人民教育出版社，1980.

[2]  张乃达. 数学思维教育学[M]. 南京：江苏教育出版社，1990.

[3]  张昆. 数学解题教学设计的创新实践研究——基于“美学”的视点[J]. 数学教育学报，2015，24（5）.