初中高中两相依，它山之石可攻玉*
——平几知识在解几中的应用

福建省厦门大学附属实验中学 (363123) 王亚坤 林秋林

一、问题提出

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想，在高考中有着重要的地位，是高考命题的热点之一．一般来说，解析几何综合问题主要以圆锥曲线为载体，综合各个模块知识，全面考查学生分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力与运算能力要求较高，有一定的难度.学生在解答解析几何综合问题时，习惯于先联立直线与圆锥曲线的方程，再通过代数方法进行推理，往往导致运算量太大而不得不中途放弃．事实上，“解析几何也是几何”，其本身也隐含着平面几何的思想方法.在解答某些解析几何问题时，如果注重“初高中结合”，充分利用图形的直观性和平面几何知识，灵活处理，不仅能避开繁琐的代数运算，还能揭示问题的几何本质.同时，借助几何直观，利用平面几何的思想方法解决问题，有助于提高学生的实践能力，提升创新意识，发展直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养.

二、应用举例

1.应用“勾股定理”

例1 (2020年高考全国Ⅰ卷)已知圆M:x2+y2-2x-2y-2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA,PB，且切点为A,B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

2.应用“三角形中位线”

图1

3.应用“相似三角形”

例3 (2019年高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A,B两点．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( )．

图2

4.应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”

图3

5.应用“等积法”

图4

6.应用“圆的性质”

例6 (2014年高考课标Ⅱ卷)设点M(x0,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是( ).