一道四边形面积最大值问题的探究

江苏省无锡市第六高级中学 (214000) 谢 吉

本文拟通过对一道四边形面积最大值问题的深入研究，旨在帮助同学们拓宽处理此类问题的常用解题思维，巩固所学数学知识、方法在解题中的灵活运用能力；同时也指出教材例、习题的典型性可进一步挖掘，以及强化变式训练的重要性.

考题呈现(2020届西安高级中学高三模拟题)在平面四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°,CD=2,AD=4，则四边形ABCD的面积的最大值为.

试题分析：本题符合新课标“注重在知识网络的交汇点处设计试题，对数学基础知识的考查达到必要的深度”的高考理念，主要考查学生对相关数学知识的灵活、综合运用能力，提升考生的数学核心素养.本题亮点体现在两个方面：一是考查学生的数形结合能力以及推理论证能力；二是如何巧妙借助“消元”技巧，或转化思想加以灵活分析，培养学生分析问题、解决问题的能力.

解法探究：因为AB=BC,∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形.如图1所示，为了便于进行分析、叙述，先画出对应的图形，并设等边△ABC的边长为x.

图1

评注：此解法的关键是借助“设元”技巧，先根据解三角形知识构建等量关系，再根据同角三角函数中的平方关系实施“消元”变形，进而转化为二次方程的“根”的存在性问题.

图2

评注：上述解题思路可概括为,先根据图形的特殊性，适当建立平面直角坐标系；再通过设出相关点的坐标，构建等量关系，并活用“消元”技巧获得关于“m2”的一元二次方程；最后根据二次方程有实数根，构建不等式加以灵……