《数学教学》1104问题的探究

重庆市两江中学校 (401120) 邹 超 邓元洁

1.问题的呈现

《数学教学》2020年第10期1104问题是安振平提供的一道不等式题，题目如下：

设实数a,b满足a2+ab+b2=3，求(a2-a+1)(b2-b+1)的最小值.

2.问题求解及探源

问题1104等价于如下问题：

问题1 设实数a,b满足a2+ab+b2=3，求证：(a2-a+1)(b2-b+1)≥1 (1).

(1)式来源于Mathematical Reflections 2(2020)问题1514：

问题2 设a,b,c为非负实数满足(a2-a+1)(b2-b+1)(c2-c+1)=1，求证：(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≤27(2).

下面笔者给出(2)式的一个证明，并提出了一个新的问题，作为安振平问题5445：

证明(1)、(2)、(3)式的核心步骤是证明下面的局部不等式，即求证：

3(a2-a+1)(b2-b+1)≥a2+ab+b2(4).

3.局部不等式(4)的证明

证法1：(4)式等价于3a2b2+2(a2+ab+b2)+ab+3≥3(a2b+ab2)+3(a+b) (5).

下面先证明：设a,b是正实数，则a2+ab+b2≥3(a+b)(6).

再证：设a,b,c是正实数，则3a2b2+a2+ab+b2≥3(a2b+ab2)(7).

从而(6)、(7)式相加可知(4)式成立.

证法2：(4)式等价于(3b2-3b+2)a2-(3b2-2b+3)a+2b2-3b+3≥0(8).

说明:由证明过程可以得到(4)式可加强如下不等式：设实数a,b，则有

由(9)式可以把问题(2)加强为：

问题4 设a,b,c为非负实数且满足(a2-a+1)(b2-b+1)(c2-c+1)=1，求证：(a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)≤8(10).

下面用不等式(4)证明(2)、(3)式.