对一道“黄金分割点”与相似问题的探究与思考

施献

[摘  要] “黄金分割点”与相似图形结合是中考常见的问题形式，可同时考查学生概念理解、知识应用、模型构建、问题转化能力. 挖掘问题模型、关注模型原理、深度拓展探究可有效提升学生的解题能力. 文章将对一道“黄金分割点”问题深入探究，并反思模型教学，提出相应的建议.

[关键词] 黄金比;相似;图形;比例线段;拓展;模型

黄金分割问题在生活生产中十分常见，实际上在中考中也会涉及，考查时常结合特殊图形，综合几何知识. 2020年徐州市中考压轴题同时涉及了黄金比与相似图形，具有极高的研究价值.

考题呈现

考题：（2020年江苏徐州中考卷第27题）我们知道：如图1，点B把线段AC分成两部分，如果 = ，那么称点B为线段AC的黄金分割点. 它们的比值为 .

（1）在图1中，若AC=20 cm，则AB的长为______cm;

（2）如图2，用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG. 试说明G是AB的黄金分割点;

（3）如图3，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P. 他发现当PB与BC满足某种关系时E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点. 请猜想小明的发现，并说明理由.

考题探究

1. 问题分析

第（1）问可将AC的长度代入比例式中，即可得到线段AB的长.

第（2）问需要证明点G是AB的黄金分割点，由黄金分割点的概念可知，需要满足 = ，则求出BG的长度即可. 设EA和CG的延长线相交于点M，根据折叠特性以及平行性质可得∠EMC=∠ECM，则△EMC为等腰三角形，可得EM=EC，由已知线段长可得EM长，在Rt△CMD中构建三角函数，……