问题意识视域下数学概念教学的实践与思考

葛秀兰 王艳

【摘 要】数学概念是数学知识的重要组成部分。问题意识视域下数学概念教学的具体路径为：设计矛盾冲突，认识标准之要;史话还原过程，感受溯源乐趣;引导知识迁移，自主建构概念;借助测量实践，丰富概念内涵;开展变式练习，感悟度量本质;梯度拓展延伸，促进思维深化。

【关键词】问题意识  小学数学  概念

数学概念是数学知识的重要组成部分。在数学概念教学中，只有把问题作为教学的出发点，用问题驱动数学概念的教学，让学生像“数学家”那样思考概念本质，经历数学概念的建构过程，才能有效培养学生的问题意识、创新精神和实践能力。下面以《认识面积单位》一课为例做具体分析。

在设计《认识面积单位》教学预案之初，备课组先大致确定了设计的原则：首先，面积单位的教学要放在度量单位体系整体建构中完成;其次，面积单位概念的建构既要利用好认识长度单位经验的知识迁移，还要能促进后续的体积单位以及其他相关知识的学习;最后，在教学面积单位概念的过程中，要增强学生提出问题并解决问题的能力，运用几何直观培养空间观念，重视学生形成独立的思维和创新意识。而且，这应成为本节课的核心教学目标。

根据这一核心目标，我们梳理了一些问题：（1）如何激发学生产生学习面积单位的心理需求;（2）如何建立面积单位概念表象;（3）如何有利于学生对度量单位形成整体性认识;（4）怎样让学生在学习的过程中领会度量的本质;（5）如何让学生习得度量单位的学习方法;（6）如何培养学生的空间观念等。整节课我们就以这些问题为主线，以问题驱动课堂教学，帮助学生深刻理解“面积单位”这一核心概念。

一、设计矛盾冲突，认识标准之要

面积是对二维空间图形的度量，在小学阶段主要是指平面图形的大小。此前，学生在认识“长度单位”时，已经认识到度量线段首先要统一长度单位，构建统一的度量标准。在此过程中，学生积累了一定的学习计量单位的思维经验，但是“面积”和“面积单位”概念相对于“长度单位”要更抽象，需要从一维空间的数值（长和宽）向二维空间（大小）跨越，所以利用学生已有的经验，创设问题情境，设置矛盾冲突，激发学生在解决问题的过程中体会“建立标准”和“统一标准”十分必要。

【案例一】

师：瞧，这个长方形纸片的面积就是这个面的大小。那纸片的面积到底有多大呢？（出示图）

师：老师给你们准备了一张格子纸，用它量一量纸片有几格。（学生动手实践）

生1：2格。

生2：3格。

生3：8格。

师：为什么同一个物体的面积，方格的个数不一样呢？

生：格子大小不一样。

师：原来用的格子有大有小，所以量的结果不一样。如果还用数方格的方法测量面积，要得到统一的数据，你有什么办法？

生：格子的大小要一样。

师：测量时，统一标准很重要，就像测量长度要用统一的长度单位，测量面积也要用统一的面积单位。

围绕问题“测量同一个物体表面的面积，得出的结果为何不同”创设情境，引发矛盾冲突，激发学生思考因测量标准多样造成结果不同带来的不便，从而产生“建立统一标准”的需要，让学生经历这样的学习过程有利于整个度量体系的建立。

二、史話还原过程，感受溯源乐趣

面积单位要统一两个标准，即“形状”的标准和“大小”的标准。为什么没有选用圆、三角形或其他图形，而是选用正方形作为它的“形状”标准，是源于人们在测量中的易操作性而非它的本质属性，所以教学中无须让学生花大量的时间探究，但认识“形状标准”的产生过程对学生完整构建“面积单位”概念却是不可或缺的。因此，我们设计了一段视频辅助教学。

【案例二】

师：选用什么样的图形作为面积单位的形状标准呢？相互说一说。

生：三角形、正方形、长方形、圆形。

师：都很有想法，下面就让我们一起看视频，跟着历史回顾面积单位“形状”标准产生的过程。

播放视频，画外音介绍：面积单位的产生是源于人们实际测量活动的需要。那么，选择什么样的图形以及多大的图形作为面积单位自然也要方便人们的实际测量。通过大量的测量实践，人们发现，如果用圆作为形状标准，实际测量会产生大量空隙，测量的结果必然是不准确的，而把土地分割成标准的正三角形、长方形和正六边形，其难度比分割成正方形要大。因此，劳动人民在生产和生活中，自然地将土地分成了一个个正方形或长方形（展示中国的象形汉字“田”和“亩”）。于是，用正方形作为面积形状标准成了人们不约而同的选择。

师（小结）：原来面积单位是用正方形作为标准的，那么用多大的正方形作为面积单位呢？

抛出问题“选用什么样的图形作为面积单位的形状标准呢”驱动学生思考。这虽不是面积单位概念的本质属性，但可以让学生体验到许多数学概念不是“天外来客”，而是人类在努力探究自然、社会和精神世界的过程中形成的体系化的认识成果。教学中以视频介绍的方式呈现，既不突兀又贴合学生的实际学习需要。

三、引导知识迁移，自主建构概念

数学知识获得的过程通常是知识叠加的过程，呈现螺旋上升的样态。同样的，在度量单位的体系里，从长度单位到面积单位，空间从一维延伸到二维。利用学习长度单位的经验，实现知识迁移，认识不同的面积单位，感受面积单位的大小，是建构面积单位概念最为有效的路径。这样的路径还适用于学习、研究其他的度量单位，让学生学到有生长力的知识。

【案例三】

师：想一想，我们已经学过哪些计量单位？

生：时间单位（时、分、秒），长度单位（厘米、分米、米），质量单位（克、千克），货币单位（元、角、分）。

师：猜一猜，我们今天学习的面积单位与什么单位有关？

生：长度单位。

师：那面积单位与长度单位有什么样的联系呢？（课件演示点动成线，线动成面的过程）

师：边长1厘米的正方形面积是1平方厘米。1厘米是长度单位，1平方厘米是面积单位。

师：我们在学习长度单位时，用了认一认、画一画、找一找、量一量的办法记住了这些长度单位，是不是也可以利用这些办法记住面积单位呢？学习小助手也可以帮助我们。（课件出示学习小助手）

在学生了解选用正方形作为面积单位形状标准的历史演变过程后，教师顺势以新的问题“多大的正方形作为统一的标准呢”引导学生思考，教师适时介绍：为了便于交流，数学上规定统一的标准是1平方厘米、1平方分米、1平方米……进而介绍边长为1厘米的正方形的大小就是面积单位1平方厘米，接下来带领学生通过“认、画、找、量”等数学实践活动，帮助学生感知1平方厘米的实际大小，建立面积单位的表象。这样的设计，借助操作、图像、符号等多种表征方式，引导学生经历从借助实物进行操作，到脱离实物在头脑中进行影像操作的过程，最终将面积单位的表象映在学生的脑海中。

四、借助测量实践，丰富概念内涵

面积单位的教学不仅需要让学生形成面积单位的表象，更重要的是让学生将面积单位的表象與生活中实际物体的面进行联结，并且能用面积单位度量生活中物体的面，让学生通过大量的测量实践，在脑海中形成面积单位大小的影像，丰富对面积单位的认识。

【案例四】

1.测量橡皮面的面积

师：大家从学具袋里拿一些1平方厘米的正方形，量一量橡皮这个面的面积有多大。

（生测量活动并汇报）

师：铺满橡皮的这个面用了 2个1平方厘米的正方形，我们就说橡皮这个面的面积是2平方厘米。

师：如果铺满用了3个1平方厘米的正方形，面积是多少？铺满4个呢？

师（小结）：这个面包含几个1平方厘米，面积就是几平方厘米。

2. 测量1元硬币面的面积

师：量一量1元硬币面的面积有多大，遇到了什么困难？

生：不能正好铺满。

师：4个1平方厘米没有正好铺满，还有较小的空白地方，可以说硬币面的面积大约为4平方厘米。

在测量活动中，都选取学生熟悉的物品。先是测量橡皮一个面的面积，积累测量的经验和方法;再估测橡皮另一个面的面积，引导学生在自我比对和调整的过程中，逐步完善对面积单位大小的感知，从而建立更为清晰的概念表象。接着测量硬币面的面积，让学生在解决新问题的过程中，进一步认识面积单位的意义，不断感悟面积单位的价值。

五、开展变式练习，感悟度量本质

为了使学生全面正确地理解度量本质，可以给学生提供直观材料和实例，不断变换非本质属性，引导学生在解决实际问题的过程中感悟“面积就是面积单位的叠加”这一度量的本质。

【案例五】

师：先用6个1平方厘米的正方形拼一拼，再想一想这些图形的面积是多少？

（学生动手拼一拼，并展示部分学生的作品）

生：面积都是6平方厘米。

师（追问）：这些图形的形状各不相同，为什么面积都是6平方厘米？

生：因为这些图形都是用6个1平方厘米的正方形拼成的，所以它们的面积都是6平方厘米。

【案例六】

师：下面图形的面积各是多少平方厘米？和同学说说你的算法。（每个小方格表示1平方厘米）

师：这些图形的面积是怎么得到的？

生1：可以把两个三角形拼成1个正方形，面积就是1平方厘米。

生2：可以分成两部分数，先数有几个小正方形，就是几平方厘米，然后再数有几个三角形，两个三角形就是1平方厘米。最后把两次数的结果加起来就是这个图形的面积。

这样的设计引导学生主动运用“转化”策略，通过图形的平移和旋转将不完整的面积单位设法拼补成完整的面积单位，再进行“计数”。学生在解决问题的过程中，不但感悟了数学思想，还积累了数学活动的经验。

六、梯度拓展延伸，促进思维深化

用“系列递进的问题”联结课堂教学，不仅在一定程度上遵循了学科知识发展的内在逻辑，同时也是强化学生问题意识、促进学生思维深化的需要。

【案例七】

师：教室里黑板面的面积是多少？先估一估，再量一量。

生1：大约3平方米。

生2：大约4平方米。

师：到底是多大？我们一起来量一量。你们准备选用哪个面积单位？

生：选用1平方米的正方形去量。

师：我们已经量出黑板的面积是4平方米多一些，剩下的部分可以用什么面积单位去量？

生：再用1平方分米的正方形去量。

师：还有剩下的怎么办呢？

生：再用1平方厘米去量。

师：通过对黑板面积的测量，我们发现选用多大的面积单位需要根据实际场地的大小。如果测量我们学校、城市、国家的面积需要用到什么面积单位？

生：需要用到更大的面积单位。（平方千米等）

师：因科学研究的需要，有时还要用到很小的面积单位。这些我们今后再学习和研究。

在几次选用不同面积单位测量的过程中，让学生在比较中感悟联系，体会“知识从哪儿来” “往哪儿去” ，进而抛出“如何测量学校、城市、国家的面积”这个问题，为学生后续学习面积的相关知识埋下伏笔，用新的问题激发学生新的思考、新的探究。

在数学概念教学中，只要教师把问题作为教学的出发点，以数学问题驱动课堂教学，就能使教学活动真正有利于培养和提高学生分析问题、解决问题的能力，进而逐步培养学生的问题意识。学生在概念的建构过程中，按照“提出问题—探究问题—解决问题—发现新问题”的模式，循环往复、逐步深入地展开，这些不断被“发现”的新问题就能推动学生思维积极有效地开展并走向深刻。学生从解决他人提出的数学问题走向主动发现问题、提出问题和解决问题，不仅数学知识能得到灵活的应用，问题意识、创新能力也能得到有效培养。只有这样，学生的数学素养才能全面提升，数学学习之路才能越走越宽，越走越远。