妙用函数单调性高效解题

高四红

(广东省中山市桂山中学 528463)

一、引言

函数一直以来都是考查的重点，很多时候，其相关试题看似难度较大，但是只要认真掌握相关特征规律，在解题时若能正确合理地运用，会使得解题过程高效简洁.下面笔者结合实例来谈谈运用函数单调性高效解题.

二、实例分析

1.运用函数单调性解方程

评注此类方程很多同学觉得头疼，会直接考虑移项，两边平方去根号的策略进行解决，这样可以解出想要的结果，但也势必造成解题效率低下，本题应基于函数观点进行考虑，结合单调性进行处理，这样可以大大减少计算量，并且巧妙地避免了讨论及利用平方可能带来的增根检验问题，达到简洁高效的效果.

例2解方程5x+12x=13x.

评注此题的难点在于证明其解的唯一性.很明显x=2是该方程的一个实数解，但是通过构造函数，结合指数函数的单调性进行判断所构造函数的单调性是解答此题的思维痛点，在巧妙利用单调性的基础上，该题得到了完美的解决，数学的美感得到了很好的诠释.

2.运用函数单调性解不等式

例3对任意的a>0且a≠1，求不等式(2logax+3)3>(logax)3-3(logax)2+logax2-5的解集.

解析很明显的换元套路，令t=logax，那么该不等式变为(2t+3)3>t3-3t2+2t-5，进一步变形为(2t+3)3+(2t+3)>(t-1)3+(t-1)，下面考虑构造函数f(x)=x3+x，求导得f′(x)=3x2+1>0，那么该函数在(-∞,+∞)上单调递增，所以2t+3>t-1，解得t>-4，所以logax>-4，logax>logaa-4，若a>1，解得x>a-4；若0

评注此题在对数函数换元时，同学们应该注意到由于对数函数的值域是(-∞,+∞)，所以不用对t进行变化范围限制，此处虽然无需进行限制，但是更多的时候，换元之后会发生新变量的定义域变更，这点值得注意.换元之后产生了本题最大的难点，将函数移项整体配方成想要的形式，为什么会想到配方？主要考虑将整个式子单纯地展开成一个三次不等式，其计算量也是巨大的，很可能最后不了了之，导致放弃.换个角度思考，如果直接是考查同学们的三次不等式的计算问题，难么就没有必要设置(2t+3)3的形式，所以这就是本题的重要的突破口.紧接着要构造函数，结合单调性迅速解题，最后还要对a进行分类讨论，再得出最后结果.所以此题不仅要求大家具备良好的敏锐的数学眼光，还要求大家具备精细的思考分析能力.

评注此题主要是考查学生的观察能力，切不可直接硬算，指数函数与对数函数交杂在一起，一般方程都是解不出来的，只能巧妙利用奇偶性与单调性进行求解.

3.运用函数单调性求值

解析由已知条件，得(2x-1)2021+2020(2x-1)=(1-2y)2021+2020(1-2y).

考虑构造函数：f(t)=t2021+2020t，显然该函数为奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增.

所以必有2x-1=1-2y，解得x+y=1.

评注观察结构具有高度的对称性，排除直接解方程的思路，注意到两式相加等于0，而且具有很明显的换元导向，在换元后的式子中有明显的奇函数特点，结合单调性即得出答案.

评注关键点和难点都在于配方，此题在指对互化上面的考查也相对较多，在函数单调性与变形巧妙的配合下将看似没有关系的变量进行了连接，这就是数学的内在美！

4.运用单调性求分段函数范围问题

解析画出此分段函数草图，显然该函数是在整个(-∞,+∞)上单调递增.构造新的函数：F(x)=f(x)+f(2x+1)，那么这也是一个在(-∞,+∞)的增函数，而F(0)=f(0)+f(1)=3，结合函数单调性知x的范围是(0，+∞).

评注该分段函数如果直接进行分类考虑，要考虑三种不同情形，整个题目运算量相当大！此种解法直接考虑整体法，新函数依旧是增函数，巧妙避免了分类讨论，使得解题效率得到有效提高.

评注该题设计看似复杂，既有绝对值还有对数形式，容易产生畏难情绪.但仔细观察发现该函数具有奇偶性，从而有效避免分类讨论，题干之中的形式实际上不参与直接代入运算，成功避开了复杂运算的困境.

5.利用函数单调性做证明题

例9设0≤a≤1,0≤x≤π，证明：(2a-1)sinx+(1-a)sin(1-a)x≥0.

证明①当a=0或a=1或x=0或x=π时不等式显然成立.

评注该题的第一个难点就是题目不仅仅是一个变量，而是双变量，无形中给学生带来了巨大的压力；其次应优先考虑特殊情况，再来考虑一般情况，这里很好地保证了移项相除时候的正确性，也从另一方面体现了特殊到一般的数学探索发现过程，最后是配方的时候两边同除以x，这一步也很关键，这样才能很好地构造出所需函数，再结合单调性进行论证.精心思考，很多时候会拨开云雾见真章.

大家做题的时候需要有一个勇敢的心！很多题仔细分析后思路会从模糊变得越来越清晰，掌握好基本题型，审慎分析，提高其实并不难.