分类讨论思想面面观

杨 阳

(安徽省定远中学 233200)

分类讨论是解决问题的一种基本逻辑与方法，更是一种数学思想，方便研究对象，合理发展人的思维.特别地，分类讨论思想在高考数学命题中占有非常重要的位置，在数学各知识点中存在大量分类讨论的相关问题.分类讨论思想的考查是历年高考的重点与热点问题之一.

一、函数中的分类讨论思想

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性.特别对于函数问题中，情形比较多或不能进行统一研究时，则应分类进行研究，分类时要做到不重不漏.

A.(-∞，-1] B.(0，+∞) C.(-1，0) D.(-∞，0)

分析结合分段函数中的条件进行分类讨论，结合相应的不等式加以转化，确定自变量x的取值范围.

解析当x+1≤0，即2x≤-2时，函数f(x)=2-x是减函数，由f(x+1)2x，解得x<1，故x≤-1；

当0

当x≥0时，此时不等式f(x+1)

综上分析，可知x<0，故选D.

点评本题主要考查分段函数，函数与不等式的综合应用，考查分类讨论思想与数形结合思想等.

二、数列中的分类讨论思想

在数列中，涉及数列的通项an与前n项和Sn的关系，等比数列前n项和公式中q=1与q≠1的区别，结合项数n的奇偶情况、整除性情况等进行分类讨论，结合不同情况下对应的通项或前n项和等加以应用.

例2已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，则( ).

A.a1a3，a2

C.a1a4D.a1>a3，a2>a4

分析根据等比数列中“奇数项(或偶数项)符号相同”的性质，结合条件中首项为正，通过公比的不同取值情况加以分类讨论，结合条件中的关系式成立，加以合理排除与验证.

解析根据等比数列“奇数项(或偶数项)符号相同”的性质，由a1>1，设等比数列的公比为q，当q>0时，由等比数列中项的性质可知a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，显然条件a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，则知a1a3，a2>a4不成立，排除选项A，D；

当q=-1时，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)>0，显然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立，故q≠-1；

当q<-1时，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3)>0，显然a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立；

当-1a3>0，a2

综上，得a1>a3，a2

点评在解决数列的通项、前n项和时，一定要结合相关的规律、参数值的不同取值等情况，结合题目条件加以分类讨论，确定不同情况下对应的通项公式、前n项和公式及其相关的应用等.

三、圆锥曲线中的分类讨论思想

圆锥曲线中许多问题都涉及到分类讨论，如位置关系的讨论、轨迹方程中轨迹类型的确定、最值问题、参数范围问题等都可能遇到因变量范围不同而结果就不同的情况，因而要对位置关系或变量进行必要的讨论，才能确定最后的结果.

分析在设直线方程时，要结合直线的斜率是否存在加以讨论，在直线斜率存在的条件下，设出直线方程，与椭圆方程联立，通过函数与方程的转化，结合向量关系式的变形与转化，借助基本不等式来确定最值即可.

综上分析，当点B的横坐标的绝对值取得最大值为2时，m=5，故填答案5.

点评本题主要考查椭圆的方程及其几何性质，平面向量，讨论思想与数形结合思想.对于直线与圆锥曲线的位置关系中，如果涉及直线方程的设置，一定要分析直线斜率的存在性问题，否则容易遗漏其中直线斜率不存在的情况而导致错误；涉及圆锥曲线的标准方程，一定要分析对应的焦点与其方程之间的关系等.

四、导数中的分类讨论思想

在导数及其应用问题中，分类讨论主要用来求解单调区间、参数范围、极值、最值以及恒成立问题等.通过分类讨论，针对相应的参数问题，解决对应的导数问题.

例4若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0，+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为____.

分析通过求导，结合参数a的不同情况进行分类讨论，确定函数的单调性以及对应的最值问题，进而确定函数在给定区间的最大值与最小值的和问题.

解析由f(x)=2x3-ax2+1，可得f′(x)=6x2-2ax.当a≤0时，f′(x)>0在(0，+∞)上恒成立，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，而f(0)=1>0，故f(x)在(0，+∞)内没有零点；

x-1(-1,0)0(0,1)1f′(x)+0-0f(x)-4↗极大↘0

从上表可知，在[-1，1]上，f(x)max=f(0)=1，f(x)min=f(-1)=-4，所以f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为f(x)max+f(x)min=1-4=-3.

点评在利用导数求含字母的函数单调区间和最值时，一般都要涉及到对字母的讨论，而反过来用函数在某已知区间上的单调性来求字母的取值范围时，也通常会蕴涵分类讨论这一思想，这也是高考热点内容.

当对应问题所给的对象不能进行统一分析与研究时，可以借助研究对象按某个标准进行合理分类，对每一类别分别分析得出结论，最后综合各类别的结果得到整个问题的解答.分类讨论思想的基本策略实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”.