电磁感应中单、双杆运动问题

高振伟

(河北省张家口市宣化第一中学 075100)

电磁感应是中学物理主干知识点之一，也是历年高考必考的内容，新课改之前，普通高等学校招生全国统一考试中电磁感应基本上以一道选择题的形式考查.2017年开始把动量定理、动量守恒定理内容由选考改为必考知识点，使动力学传送带、板块等一系列问题的考查拓宽了思路，同时也使电学尤其是对电磁感应知识的考查注入了新的生机，近几年全国普通高考中对电磁感应考查的力度明显加大，时常以计算题形式出现，电磁感应计算题题型中单、双杆切割磁感线运动问题是高频考查的对象，将单、双杆切割磁感线运动与牛顿运动定律、能量、动量等知识相结合考查学生的理解能力、推理能力、分析综合能力和应用数学处理物理问题的能力，搞清单、双杆切割磁感线运动的特点、规律是前提，能够熟练应用动量、能量等观点解决单、双杆切割磁感线运动问题是对自己逻辑推理、分析综合等能力质的提升.单、双杆切割磁感线运动常见类型如下

一、单杆+导轨五种常见的模型

A.导体棒ab开始运动后，电阻R中的电流方向是从P流向M

B.导体棒ab运动的最大速度为10 m/s

C.导体棒ab开始运动后，a、b两点的电势差逐渐增加到1 V后保持不变

D.导体棒ab开始运动后任一时刻，F的功率总等于导体棒ab和电阻R的发热功率之和

例2如图7所示，倾角θ=37°，间距L=0.1 m的足够长光滑金属导轨底端接有阻值R=0.16 Ω的电阻，不计其他电阻.质量m=1 kg的金属棒ab始终垂直导轨.以O为原点，建立如图7所示方向沿导轨向上的坐标轴x.在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场.棒在沿x轴正方向的外力F作用下从x=0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v=kx，加速度a与速度v满足a=kv，k=5 s-1.当棒ab运动至x1=0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P=0.16 W.重力加速度为g=10 m/s2.(sin37°=0.6).

求：(1)磁感应强度B的大小；

(2)0≤x≤0.8 m范围内外力F随位移x变化的关系式；

(3)在棒ab穿过磁场运动过程中，电阻R产生的焦耳热Q.

解析(1)v=kx，U=BLv

①

②

联立①②解得B=1.6T

③

(2)0≤x≤0.2m时，F-mgsinθ=ma

④

0.2≤x≤0.8m时，F-mgsinθ-F安=ma

⑤

⑥

v=kx，a=kv

联立③④⑤⑥得0≤x<0.2m时，

F=25x+6

⑦

0.2m≤x≤0.8m，F=25.8x+6

⑧

(3)由v=kx和⑤式得

⑨

Q=W安=0.24 J

⑩

例3如图8所示，光滑金属导轨足够长并竖直放置，两导轨间距离为L，导轨电阻不计，磁场方向水平并且垂直轨道面向里，磁感应强度为B，轨道顶端接有电容器和定值电阻，定值电阻的阻值为R，电容器的电容为C，质量为m的导体棒MN电阻不计，与轨道接触良好，从图示由静止释放，重力加速度为g，以下说法正确的是( ).

二、双杆+导轨三种常见模型

1.光滑等间距水平导轨无外力类(如图9)，杆a做加速度逐渐减小的变减速直线运动，杆b做加速度逐渐减小的变加速直线运动，最终两杆以共同速度匀速直线运动，双杆组成的系统动量守恒m1v0=(m1+m2)v；

2.光滑等间距水平导轨受恒力F类(如图10)，开始时二者做加速运动，最终二者匀加速运动，具有共同的加速度，F=(m1+m2)a.

3.光滑不等间距水平导轨有初速度类(如图11)，b棒减速，a棒加速，由于导轨不等间距，动量不守恒，当二者产生的电动势相等时，电流为0，最终都匀速运动，但是二者的速度不相等，只有分别对a、b用动量定理BIL·Δt=m·Δv求解最终速度.

例4如图12所示，ab和cd是两条竖直固定的光滑平行金属导轨，MN和M′N′是用绝缘细线连接的两根金属杆，其质量分别为m和2m，用竖直向上、大小未知的外力F作用在杆MN中点，使两杆水平静止，并刚好与导轨接触，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨平面向里的匀强磁场中，导轨足够长，间距为L，电阻可忽略，两杆总电阻为R，与导轨始终接触良好，重力加速度为g.t=0时刻，将细线烧断，保持力F不变.求：

(1)细线烧断后任意时刻，求两杆运动的速度大小之比.

(2)若杆MN至速度最大时发生的位移为s，求该过程中通过金属杆横截面的电荷量Δq和电路中产生的焦耳热Q各为多少？

(3)从0时刻到两导体棒达到最大速度过程中，拉力做功的平均功率及达到最大速度时回路中的电功率、发热功率.

解析(1)对MN和M′N′为系统，取竖直向上为正方向，0=mv1-2mv2,v1∶v2=2∶1.

电磁感应的动力学和能量问题是历年高考的热点和难点，考查的题型一般包括“单杆”模型、“双杆”模型或“导体框”模型，单杆模型分析要点是：①杆的稳定状态一般是做匀速运动，达到最大速度或最小速度，此时合力为零.②电磁感应现象遵从能量守恒定律，整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功.双杆模型要注意动量守恒、能量守恒及牛顿运动定律的合理应用.