微分几何的教学设计与实践
——以《可展曲面》为例

李 娜， 刘白羽， 张林桐

(北京科技大学 数理学院，北京100083)

1 引 言

微分几何是伴随着微积分的创立而发展起来的数学分支，是数学类本科生的一门重要专业课.微分几何是以微积分作为主要工具研究平面和空间中的曲线和曲面的几何性质[1]，从广义相对论的数学理论，到数学大师陈省身给出的高斯-博内定理的内蕴证明；从建筑中的优美曲线与曲面，到工业加工和地图绘制，无不体现着微分几何的重要作用.

加强微分几何的教学设计可以帮助学生体会“数”与“形”的巧妙结合，促进学生在“数”——逻辑思维能力与“形”——直觉思维能力的全面发展[2].为了提高微分几何课程的教学效果，对课程的教学内容和教学设计开展了研究与实践，下面以《可展曲面》为例展开介绍.

2 可展曲面的教学设计

2.1 内容引入——温故知新

由于可展曲面是一类特殊的直纹面，所以课程从复习直纹面开始引入.

温故——通过动画演示引导学生观察柱面、锥面与平面的关系(如图1所示)，启发学生观察这两种直纹面的特点，它们都可以沿着柱面或锥面的一条直母线将它剪开，摊平展开成平面.

图1 柱面和锥面的展开演示

知新——这类可以摊平展开为平面的曲面就是可展曲面.

引导学生通过观察柱面、锥面和平面之间存在的关系，复习等距变换的定义和充要条件，启发学生利用等距变换给出可展曲面的定义.

温故——如果两个曲面之间的变换满足局部上保持曲面上对应曲线的长……