斜入射剪切波作用下形状不规则筏基的摇摆响应

向未林， 周方圆， 陈晓波， 周乐木

(1.中冶赛迪工程技术股份有限公司，重庆 401122；2.华中科技大学 土木与水利工程学院，湖北 武汉 430074；3.湖北路桥集团有限公司，湖北 武汉 430056)

地震作用下，结构物的摇摆响应以及由此导致的破坏普遍存在[1～4]。浅源地震中的地震波以一定的角度倾斜传至近场，地震动呈现空间非一致性[5]，地震波斜入射引起地表运动的非一致性变化对结构的地震反应具有较大影响。

目前对于斜入射地震波作用下基础的摇摆响应已有一些研究，Veletsos等[6]模拟了刚性圆盘基础在水平力和倾覆力矩作用下的响应，并通过基础动力加载分析和土-结构动力相互作用效应研究进行了验证。Yim等[7]推导了考虑竖向地震时刚性块的摇摆运动非线性运动方程，认为块体的动力响应受其细长比以及地面运动的影响。Kaynia等[8]研究了桩基在以不同角度入射的瑞利波、P波和S波作用下的动力响应。Makris等[9]详细研究了刚性块在脉冲波和近源地震动作用下的瞬态摇摆响应，认为其有规律可循。周方圆等[10]对斜入射剪切波作用下方形基础及上部框架的扭转和摇摆响应进行了研究。文学章等[11～13]采用薄层元素-有限单元混合法，研究了形状不规则刚性基础的水平和扭转动力响应。然而目前对于斜入射地震波作用下不规则基础摇摆响应的研究都没有考虑地震波振动方向的改变对基础的响应影响。本文基于粘弹性边界的波动输入方法，结合Fortran程序，以通用有限元软件ABAQUS为平台，分析了考虑波振动方向变化的空间斜入射剪切波作用下，两种常见形状不规则“L”型和“C”型基础的摇摆响应。

1 粘弹性边界和波动输入

采用有限元方法进行近场波动的动力分析时，为考虑远场地基介质的能量辐射效应和弹性恢复性能，需在有限域截断边界上施加人工边界。粘弹性人工边界精度高，物理意义明确，且具有低频稳定性，因而被广泛应用。粘弹性边界的实现[14]相当于在人工边界上设置一系列由弹簧和粘滞阻尼器并联的弹簧-阻尼物理元件，图1所示为三维粘弹性边界示意图。

图1 三维粘弹性人工边界示意

对于三维粘弹性边界中的边界节点l,i方向的弹簧刚度系数K和粘滞阻尼系数C取值如下：

法向方向：

i=1,2,3

(1)

切向方向：

(2)

式中：Al为人工边界上节点l所代表的面积；λ，G分别为拉梅常数和剪切模量；R为结构几何中心到该边界点所在面的距离；A和B的较优建议值为A=0.8，B=1.1；ρ为介质密度；cp，cs分别为介质弹性纵波和横波波速。

采用人工边界的同时也带来了波动输入的问题，基于粘弹性人工边界的波动输入方法是将输入地震波转化为直接作用于人工边界上的等效荷载来实现波动输入。人工边界上节点l处i方向的等效节点力为：

(3)

地震波输入时，人工边界上各点的波场是随空间和时间变化的，因此不同时刻人工边界上任意点施加的等效节点力是不同的。本文结合Fortran编程实现了粘弹性人工边界在ABAQUS模型中的施加以及剪切波的波动输入，实现流程如图2所示。

图2 粘弹性边界在ABAQUS中的实现流程

为验证该波动输入方法在ABAQUS中的实现和模拟精度，建立如图3a所示算例模型进行验证。介质材料密度为2000 kg/m3，弹性模量为1000 MPa，泊松比为0.3。输入剪切波采用脉冲波，其位移-时程曲线如图3b所示。

图3 用于验证有限元模型和入射波

定义剪切波空间入射角度如下：竖直角α定义为波传播方向与垂直方向(y轴)的夹角，水平角β定义为SV波振动方向与x轴的夹角以及SH波振动方向与z轴的夹角。图4给出了斜入射SV波(入射角取：α=15°，β=45°)以及SH波(入射角取：α=20°，β=30°)作用下，土体表面中点沿x轴方向的位移时程，结果表明，数值模拟结果与基于波动理论获得的精确理论解[15]吻合较好。图5给出了半空间位移场云图，可以明显看到斜入射SV波和SH波在半空间的传播以及在土体表面的反射过程。因此，此波动输入方法在ABAQUS中实现的有效性和精确度得以验证。

图4 土体表面中点位移时程

图5 半空间位移场云图

2 分析模型及参数

为分析斜入射剪切波作用下形状不规则筏板基础的摇摆响应，建立了如图6所示有限元计算模型。假定基础为无质量的刚体，近场土体均匀弹性。土体密度为ρ=1800 kg/m3，弹性模量E=500 MPa，泊松比ν=0.35，剪切波波速vs=320 m/s。土体截断边界施加粘弹性人工边界，剪切波的波动输入采用前述基于粘弹性人工边界的波动输入方法。

图6 筏基的有限元模型/m

斜入射SV波传至自由地面将反射SV波和P波，入射角存在临界角αcr=28.7°，此时反射P波将沿界面以余角反射的形式传播。对于斜入射SH波，仅反射SH波，竖直入射角不存在临界角的问题。为研究基础的摇摆响应随剪切波入射和振动方向变化的规律，考虑到SV波和SH波振动特性的不同，以及“L”型基础和“C”型基础对称性的不同，计算工况如表1所示。

表1 入射角计算工况 (°)

研究形状不规则基础形状参数改变对基础摇摆响应影响时，剪切波入射角取值为：SV波入射角度取α=27°，β=27°和α=27°，β=0°两组工况；SH波的空间入射角取α=30°，β=45°和α=30°，β=0°两组工况，基础的形状参数计算工况如表2所示。

表2 不规则基础形状参数

3 计算结果分析

为比较斜入射剪切波作用下形状不规则基础的摇摆响应，引入传递函数SR1=|φxC1|/|Ug|和SR3=|φzB1|/|Ug|分别表示基础绕x轴和z轴的摇摆响应。其中，φx，φz分别为基础绕x轴和绕z轴的摇摆角；C1为基础平行于z轴方向的宽度；B1为基础平行于x轴方向的宽度；|Ug|为自由场土体中点水平位移。

图7，8所示为SV波作用下，“L”型基础和“C”型基础的摇摆响应随剪切波竖直入射和水平振动方向变化的规律。可以发现，随着竖直入射角的增大，基础绕x轴和z轴的摇摆响应均增强，尤其是入射角接近临界角时，基础的摇摆响应有明显的增强；随着剪切波水平振动方向与基础轴向方向夹角的增大，基础绕x轴的摇摆响应增强，基础绕z轴的摇摆响应减弱。实际上，由于“L”型基础关于β=45°的对称性，基础绕x轴与绕z轴的摇摆响应关于β=45°对称。由图7c，7d可发现，对于工况α=27°，β=45°，基础绕x轴的摇摆响应和基础绕z轴的摇摆响应几乎完全相同。

图7 “L”型基础的摇摆响应随SV波入射方向的改变

图8 “C”型基础的摇摆响应随SV波入射方向的改变

图9，10所示为SH波作用下，“L”型基础和“C”型基础的摇摆响应随剪切波入射和振动方向变化的规律。由于SH波与SV波振动特性的不同，可以发现，随着竖直入射角的增大，基础绕x轴和z轴的摇摆响应均减弱；随着剪切波水平振动方向与基础轴向方向夹角的增大，基础绕x轴的摇摆响应增强，基础绕z轴的摇摆响应减弱。

图9 “L”型摇摆基础的响应随SH波入射方向的改变

图10 “C”型基础的摇摆响应随SH波入射方向的改变

图11，12所示为SV和SH波作用下基础绕x轴的摇摆响应。平面内SV波作用下，无论“L”型基础还是“C”型基础，剪切波振动方向平行于x轴时，基础绕x轴的摇摆响应均随形状参数的增大而增强；当剪切波振动方向与基础轴线方向呈一定夹角后，基础绕x轴的摇摆响应便几乎不受形状参数改变的影响。

图11 SV波作用下基础的响应

图12 SH波作用下基础的响应

对于出平面SH波，当波振动方向垂直于x轴时，无论“L”型基础还是“C”型基础，基础绕x轴的摇摆响应均随形状参数的增大而增强；当剪切波振动方向与基础轴线方向呈一定夹角后，基础绕x轴的摇摆响应也几乎不受形状参数改变的影响。

因此，以往研究剪切波入射角对基础的摇摆响应以及不规则基础形状参数对基础摇摆响应的规律时，仅考虑了地震波竖直入射角的变化，没有考虑地震波振动方向与基础轴线方向的夹角，得到的结论存在一定的局限性。

4 结 论

本文研究了考虑振动方向改变的空间斜入射剪切波作用下，两种常见形状不规则“L”型和“C”型筏板基础的动力响应。分析了剪切波竖直入射方向和水平振动方向改变以及基础形状参数改变对基础摇摆响应的影响，得到的结论如下：

(1)形状不规则基础的摇摆响应随剪切波入射方向和振动方向的改变而变化，其变化规律与剪切波的类型有关。值得注意的是，研究斜入射地震波作用下基础的摇摆响应时不仅要考虑地震波入射方向改变对基础摇摆响应的影响，还应当考虑地震波振动方向改变对结构动力响应的影响。

(2)在不考虑剪切波振动方向与基础轴线方向夹角时，基础的摇摆响应随形状参数的增大而增强。考虑剪切波振动方向与基础轴线方向夹角后，基础的摇摆响应显著增强，此时，基础的摇摆响应主要受地震波振动方向与基础轴线方向的夹角的影响，基本不受基础形状参数变化的影响。