浅谈类比在中职数学教学中的运用

臧家平

[摘   要]文章分析了在中职数学教学中应用类比的重要性和必要性，并通过教学实例，阐述了类比在中職数学教学中的具体运用。

[关键词]类比;中职数学;运用方法

[中图分类号]   G71        [文献标识码]   A        [文章编号]   1674-6058（2021）30-0081-02

类比是根据两个或两类对象在某些属性上的相似或相同之处，推断它们在其他属性上也可能有相同或相似之处的一种推理方式。类比作为学习和研究数学的重要方式，在中职数学教学的各个环节广泛运用。

一、类比在中职数学教学中运用的必要性及重要性

类比是中职数学课程标准要求学生掌握的重要推理方式。中职数学课程标准中明确指出，在数学教学中，要注重类比和归纳两种推理方式的运用。在教学数学概念，以及相关的性质和公式定理等时，通过类比的方法，可以加深学生的理解和掌握，使他们做到举一反三、触类旁通。在中职数学教学中运用类比，能够起到事半功倍的作用。

笔者通过研究与观察发现，一些中职学生的学习基础较差，基本技能掌握得不够扎实，数学思维空间较窄，缺少学习数学的兴趣与积极性。根据学生的学习现状和知识的掌握程度，在教学中恰当地运用类比，能够有效降低学生的数学学习难度，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性和主动性。

二、类比在数学概念教学中的运用

数学概念多数比较抽象难懂，学生不容易理解和掌握，不能有效把握概念的内涵和外延。在概念教学中运用类比，可以加深学生对概念的理解和掌握。

1.在教学并集的概念时，可将交集的概念与其进行类比。交集是由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，而并集是由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合。在教学中，通过类比交集和并集的概念，可以加深学生对它们的理解。同样，在教学补集的概念时可以引导学生将并集的概念与其类比，再让学生把并集和加法的运算相类比，把补集和减法的运算相类比。通过类比，能够降低知识的理解难度，加深学生对并集和补集概念的理解和掌握。

2.在讲授椭圆和双曲线定义时，可有效运用类比。椭圆的定义：平面内与两定点[F1、F2]的距离的和等于常数[2a（2a>F1F2）]的动点P的轨迹叫作椭圆，即[PF1+PF1=2a]，其中两定点[F1、F2]叫作椭圆的焦点，两焦点的距离[F1F2=2c<2a]叫作椭圆的焦距。双曲线的定义：平面内到两定点[F1、F2]的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线，定点叫双曲线的焦点。在讲授椭圆和双曲线定义时运用类比，能够使学生更好地分清距离之和和距离之差的区别，加深对椭圆和双曲线定义的理解。

3.在教学排列和组合的概念时可有效运用类比。排列的概念：从n个元素之中取出m个元素进行排序。组合的概念：从n个元素之中取出m个元素并成一组。排列是取出元素进行排序，因此如果元素相同但排序不同，就是不相同的排列。而组合是取出元素再并成一组，组合里的元素是没有排列顺序的，那么如果组合的元素相同但排序不同，便还是同一个组合。通过类比排列的概念和组合的概念，学生明确了它们之间的联系和区别。

4.在教学等差数列以及等比数列的概念时可有效运用类比。等差数列的概念：从数列的第2项开始，每一项和它前一项的差都等于同一个常数，则该数列是等差数列。等比数列的概念：从数列的第2项开始，每一项和它前一项的比都等于同一个常数，则该数列是等比数列。等比数列和等差数列的概念相差不大，却是两个截然不同的概念。因此，在教学中可以通过类比，加深学生对这两个概念的理解，让学生将知识掌握得更加牢固。

5.在立体几何的教学中，可以将平面几何的相关知识与立体几何知识进行类比。例如，通过学习平面几何，学生知道了判断两条直线是平行线的依据是这两条直线没有公共点，那么，这在立体几何中是否适用呢？这便能够引入异面直线的教学。在平面几何中，两条直线如果没有公共点，那么这两条直线就互相平行，但是在立体几何中，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线的位置关系有两种，要么平行，要么异面。在教学中，教师恰当地运用类比，能够加深学生对知识点的理解。

三、类比在性质和图像教学中的运用

性质的应用是中职数学的一大题型。性质是学生容易混淆的知识，是教师教学和学生学习的重点和难点。在教学中恰当运用类比，能够加深学生对相关性质的理解和掌握。

1.在教学指数函数的性质以及对数函数的性质时，可有效运用类比。教师在教学对数函数的定义域和值域时，可引导学生类比指数函数的定义域和值域。同样，可类比根据对数函数的单调性，比较两个数的大小的方法与根据指数函数的单调性，比较两个数的大小的方法。通过类比学习，学生能够加深对相关性质的理解，从而能够更好地解题。

在讲解指数函数和对数函数的图像时，借助表格的形式进行类比（如表1），能够使学生更加直观地感受到指数函数与对数函数的区别。

2.在讲解推导的传递性，即如果[a?b ，b?c]，那么[a?c]时 ，教师发现学生理解起来有难度。为降低学习的难度，教师便引导学生将实数大小的传递性与其进行类比，即如果[a>b ，b>c]，那么[a>c]，以加深学生的理解。当然，如果能够直接举例实数大小的传递性更好，譬如如果[3>2 ，2>1]，那么[3>1]。同理，在讲授平行直线的传递性时，也可以将其与实数大小的传递性和推导的传递性进行类比，以触类旁通，让学生更易于习得相关知识。

3.在教学余弦函数时，可以将正弦函数的相关内容，如定义域、值域、最大值和最小值、周期性、单调性、奇偶性、单调递增和单调递减的区间以及离心率等与余弦函数的相关内容进行类比，并引导学生通过正弦函数的性质和图像来研究余弦函数的性质和图像，找出两者的性质和相应图像之间的共同点与不同点，以加深学生对知识点的理解。

四、类比在公式和定理教学中的运用

在教学中，教师可以将数学公式和定理的运用和逆运用进行类比，也可以类比相似公式的运用。不论哪一种类比，都能在帮助学生记忆公式上起到重要的作用。

1.在集合之间的运算中，两个集合的交集、并集和补集的运算结果是一个集合。集合之间的运算指两个集合之间按照某种运算规则构造了一个新的集合。学生在刚接触集合之间的运算的时候，往往容易得出结果是实数的错误答案，特别是当两个集合都是数集的时候，更容易出现类似错误。因此在教学集合之间的运算时可以将实数的运算与其进行类比。两个实数之间基于某种运算法则得出的结果是一个实数，同理，两个集合之间的运算结果应是集合。在教学向量的加法、向量的减法和数乘向量的运算时，可以将集合之间的运算与其进行类比，进而得出它们基于某种运算规则得出的结果应是向量。当然，在教学数乘向量的交换律和结合律时，类比实数的交换律和结合律，可以帮助学生记忆、理解公式，为他们运用公式打下坚实的基础。

2.在《圆的标准方程》一节中，教师已经讲解了求圆锥曲线方程的步骤：⑴建立适当的坐标系，设曲线上任意一点M的坐标;⑵列适合M点条件的方程;⑶化简;⑷验证。在教学椭圆的标准方程时，类比圆锥曲线的标准方程，在推導双曲线和抛物线的标准方程时，类比推导椭圆标准方程的步骤，循序渐进。这样做能够让学生做到心中有数，进而求出标准方程。

另外，椭圆的标准方程是 [x2a2+y2b2=1（a>b>0）]， [a、b、c] 分别是半长轴、半短轴和半焦距，三者之间的关系式为 [a2=b2+c2];而双曲线的标准方程是  [x2a2-y2b2=1（a>0 ，b>0）]，[a、b、c]分别是半实轴、半虚轴和半焦距，三者之间的关系式为[c2=a2+b2]。椭圆和双曲线的标准方程的形式极其相似，仅仅是中间的符号不同，且[a、b、c]三者之间的关系十分容易混淆。在教学双曲线和椭圆的标准方程时，有效运用类比，能够加深学生对相关知识的理解和掌握。

3.抛物线的标准方程既是教学的重点，又是教学的难点。学生非常容易混淆圆锥曲线的标准方程、椭圆的标准方程、双曲线的标准方程与抛物线的标准方程。要想学生能够掌握并灵活运用这些知识点，教师可有效运用类比，这样更有利于学生进行知识点的记忆和区别。

4.两角和与两角差的余弦公式是 [cosα+β=cosα?cosβ-sinα?sinβ]和[cosα-β=cosα?cosβ+sinα?sinβ]，而两角和与两角差的正弦公式是[sinα±β=sinα?cosβ±cosα?sinβ]。两角和与两角差的正余弦公式比较相似，因此，教师在教学时可运用类比使学生找到记忆的诀窍，并且更好地去理解、掌握和运用公式。同理，两个向量平行的坐标表示是 [x1y2-x2y1=0]，两个向量垂直的坐标表示是[x1x2-y1y2=0]。这两个公式十分相似，因此非常容易混淆。在教学中，将这两个公式进行类比，能够使学生更容易接受。

综上所述，类比在数学教学中有着不可替代的重要作用。它既是学习新知识的有效方法，又是将知识进行串联的重要工具，对于学生构建有效的知识体系起到了重要的作用。

（责任编辑    王嵩嵩）