基于问题解决感悟“模型”思想

钱里兵

数学思想作为数学学科的一般原理的重要组成部分，在教学中有意渗透能帮助学生更好地理解和掌握数学内容。当学生掌握了一些数学思想和方法，再去学习相关的数学知识，就能使新知识较顺利地纳入学生已有的认知结构中去。因此，笔者努力用比较宽广的视野看待小学数学教学，不仅考虑显性的数学知识，更要充分挖掘教学内容蕴涵的数学思想。在数学问题解决的教学中，加强数学思想和方法的渗透，用数学思想、方法来指导和带动具体知识内容的教学，从而让学生不断形成解决问题的意识。

一、将数学问题“化繁为简”，感悟“模型”思想

数学教学不能只停留在知识和方法的层面，而要深入数学的“腹地”。优化作为一种重要的数学思想方法，运用它可有效地分析和解决问题。在教学中，我通过层层推进，将数学思考引向深入。在反馈和交流的过程中，学生学会把复杂的问题纳入已有模式之中，使原有的模型成为构建和解决新问题的工具。在数学思考中，学生的思维由“混沌”逐渐走向“清晰”，慢慢感悟着“优化策略”的价值，体验着“模型”思想的无限魅力。

案例：“找次品”教学片段

师：老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果是27瓶中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？

生：3次。

师：（故作惊讶！）别乱说，不可能吧？27瓶呀蛮多的，3次怎么可以保证找到？

生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶;称1次就可以推断次品在哪个9瓶里。然后9瓶就像刚才那位同学那样再均分3份来称，2次就够了。我这里只增加了1次，所以3次就找到了。

师：如果不是27瓶，而是81瓶呢？

生：4次就够了。

在提出问题后，教师注重引导学生自己先思考和探究解决问题的策略，通过引导学生“猜测”，逐步脱离实物操作，在头脑中进行“数学实验”。在此基础上，通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。找次品的基本数学模型跟3的次幂相关，小学生不易理解。我通过将瓶子的数量逐渐变大，给学生较强的冲击力，它立刻让学生处于欲言不能的“愤”“悱”状态，问题解决了，规律找到了，学生对优化的价值认识更深刻了。通过这样的教学，学生在富有挑战性的思维活动中掌握了优化的策略，感悟“模型”思想。

二、将数学问题“一以贯之”，感悟“模型”思想

古人云：“大道至简，万法归一。”自古以来，无数的先贤哲人不断思索：世界千变万化的背后，有没有一个一以贯之的“一”存在？对于数学问题而言，能够一以贯之的又是什么呢？数学思想是数学的精髓，是课堂教学的主线。我在教学中努力寻找那根串起知识的“线”。在教学“植树问题”中，有些学生虽然会解決这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练应用规律，反映出学生只是在“机械应用”，思维的灵活性却明显不够。在教学中，我另辟蹊径，让学生掌握知识背后蕴含的“一一对应”的数学思想和以问题为原型建构的“普适”的数学模型。这样学生能够“以不变应万变”，灵活解决各类问题。

案例：“植树问题”教学片段

师：想一想，生活中还有什么事情跟摆花盆这样的问题类似，可以用“一一对应”的方法来解决？

师生交流，逐步出示：植树问题、路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等。

师：想一想，在这些问题中谁和谁是“一一对应”的？同桌互相说一说。

小组讨论，然后全班交流，师借助图示帮助学生理解。

生1：我们讨论的是路灯问题，路灯数和间隔数一一对应。

生2：锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应。

师：锯的段数也就是间隔数，锯的次数也和间隔数一一对应。

生3：排队问题里，人数和间隔数一一对应。

生4：植树问题里，树的棵数和间隔数一一对应。

生5：爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应。

师：大家想一想，这些问题有什么共同特点？

生：它们都与“间隔”有关。

让学生带着刚刚明确的“一一对应”重返生活，有意识地关注过去没有注意的现象，经历从诸多实际问题中抽取出植树问题模型的过程，使学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，巩固、深化对“一一对应”的理性认识，发展学生的数学思维。它们都有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，可以统称为“数学模型”。我引导学生用数学的眼光敏锐地观察生活，让学生给生活中的数学卸下情境的“外妆”，以最本真、最简单的方式纳入原有知识结构，能够调动学生的已有经验，又能成为植树问题模型的生活原型。如此一来，纷繁变化的一一间隔排列规律用“模型”这一数学思想统领起来。

三、将数学问题“触类旁通”，感悟“模型”思想

将数学问题进一步提炼，出示变式问题，让学生去理解，识别模型，从而达到同化的作用。再让学生自己去编制同类的问题，这既可以让学生更进一步明确问题的结构、模型，能让学生很好地经历数学化的过程。这样的教学过程，会让学生感受到模型的力量和数学的魅力。在教学“鸡兔同笼”问题时，我给予学生充足的时间和空间，让学生自主探究，从而使学生的思维真正活起来，有利于学生举一反三、触类旁通，学会多角度思考问题。

案例：“鸡兔同笼”教学片段：

（出示：一队猎人一队狗，两列并成一队走。数头一共五十五，数脚共有一百九。）

师：我们研究了鸡兔同笼，也来给这首儿歌取个名字？

生：人狗同行。

师：看了“人狗同行”的儿歌，和“鸡兔同笼”比较，你有什么话想说？

生：我觉得它和鸡兔同笼的问题仍然是一样的。猎人相当于鸡，狗相当于兔。

师：他的这个理解可以吗？

生：可以。

师：虽然把猎人看作鸡有些不雅，但是从研究的角度看，你们能找到它们数量上的联系吗？

生：猎人和鸡都有两只脚;狗和兔都有四只脚。

师：回想一下，从“鸡兔同笼”到“人狗同行”，你发现了什么呢？

（再次显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）

生1：鸡兔同笼是多方面的。

生2：“鸡兔同笼”可以表示好多种和“鸡兔同笼”相同的情况。

在教学中，我注意把握题目的类型、结构和类比应用，用系统的眼光来看待它的教学价值。从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的应用，数学就是这样发展起来的。同样，如果学生在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么必将会走向数学学习的自由王国。

日本数学教育家米山国藏曾说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”笔者通过创造性地使用教材，在教学内容的广度和深度上进行拓展，着力培养学生解决问题的能力，从中逐步感悟数学思想，不断形成数学素养。