高中数学圆锥曲线中双曲线的题型解法

圆锥曲线是高中数学教学的重点内容.教师会介绍圆、椭圆、抛物线和双曲线的基本概念，包括定义、性质和特征.圆锥曲线的定义是推导轨迹方程和几何性质的基础，也是重要的解题工具.[1学生需要学习每种圆锥曲线的标准方程和定义，以及如何根据给定的条件将方程转化为标准形式或其他形式.同时，学生会学习每种圆锥曲线的特性，如圆的半径、中心，椭圆的焦点、长轴、短轴，抛物线的焦点、准线等.高中数学圆锥曲线中双曲线的题型是每位学生必须掌握的，与整体学习密切相关.教师应当根据不同的教学目标，进行不同方式的变式探索，同时为学生讲解绘制圆锥曲线的要求、注意事项等，从而使学生了解双曲线的特点、常见题型、正确解出该题型的方法等.

1巧用定义求解双曲线方程

平面内，一动点与两个定点 F₁，F₂ 距离的差的绝对值等于一个常数（常数为 2a ，小于 ∣F₁F₂∣ 的轨迹称为双曲线.根据动圆过动点及与已知动圆相外切，转化为动圆圆心到定点和定圆圆心的距离之差为常数，根据双曲线的定义解答.[3]

例1动圆 P 和两个定圆（圆 F₁ 和圆 F₂ ）相切，圆 F₁ 的半径是5，圆 F₂ 的半径是1，且圆心距F₁F₂=8 ，求动点 P 的轨迹.

解析：用 R 表示动圆 P 的半径， r₁ 表示圆 F₁ 的半径， r₂ 表示圆 F₂ 的半径，动圆 P 与定圆相切有以下两种情况（如图1）.

一是动圆 P 和两个定圆处在外切状态，可得∣PF₁∣=R+r₁ ， ∣PF₂∣=R+r₂ ，求它们的差值并与定长 ∣F₁F₂ |作比，就能判断动点 P 的轨迹.于是∣PF₁∣-∣PF₂∣=（R+r₁）-（R+r₂）=r₁-r₂lt; ∣F₁F₂∣ ，得到动点 P 的轨迹为距离……