在模式识别的过程中学会差异分析

☉陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平

在模式识别的过程中学会差异分析

☉陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平

当你面对一道高考数学试题时，你首先需要阅读理解，感知题目的条件是什么？解题目标是什么？联系、联想沟通问题条件和目标涉及的数学概念、公式、定理和有关解答技巧.识别模式，分析差异，进而快速写出试题的规范解答过程.当然，解答完毕再做出一些必要的反思总结，这样的解题习惯，有助于形成自己独特的解题思维，有利于优化自己大脑中的数学认知结构，形成解题模式，积累解题经验，开发解题智慧.

一、案例阅读

（1）求∠A的度数；

读题感知：这是一道涉及三角形的三角函数求值和不等式证明题.

模式识别：“遇新思旧、推陈出新”无非是将面对的问题和头脑中已有的知识、经验之间建立联系，以诱发积极有用的思维定势.

差异分析：看见正切，转化为正余弦；把边与角的三角函数关系统一为角的三角函数，联想到了正弦定理，第（1）问的目标是求∠A的度数，自然要向∠A转化，这就会联系到三角形的内角和定理.对第（2）问，三角形面积选择哪个公式呢？从第（1）问的答案知∠A=120°，联想出似乎是自然的事情，这里出现了边长b，c，从证明目标a2≥4√3S里的a2能联系到余弦定理吗？

因为sin（A+B）=sinC，所以sinAcosB-cosAsinB=sinB+ sinAcosB+cosAsinB，有-2cosAsinB=sinB，

注意到∠A∈（0°，180°），得出∠A=120°.

由余弦定理和二元均值不等式，得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc≥3bc=4S.

反思总结：从余弦定理出发，得a2=b2+c2-2bccosA= b2+c2+bc，用三角形面积公式有3bc=4S，把中间对接b2+c2+bc≥3bc，等价于b2+c2≥2bc，这样，二元均值不等式就自然用到了.望着目标、紧紧盯住目标，进行有目的地变形、转化，解题思维路线自然就打通了.这就是“我思，故我发展，我思，故我进步”.

在同样的条件下，你能证明类似的问题吗？

设△ABC的边长和面积分别是a，b，c，S，求证：a2+ 2bc≥4S.积累解题经验，形成思维模块，模式识别和转化，展开差异分析，一定会将数学学得容易、简单、明白些.

例2已知圆x2+y2=1上三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），满足x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，求证：

读题感知：当点A、B、C的坐标代入单位圆方程时，这是一道有5个条件等式的等式证明题.

模式识别：解析几何味道的题，变更为代数条件求值问题，难在条件多（5个），找它们之间的关系、联系，代入消元方法是经常采用的，改造与重新组合，形成新的等式.

差异分析：由一次式x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0，解出x3= -（x1+x2），y3=-（y1+y2），再代入的y3也换掉、消失.

由④、⑤得x3=-（x1+x2），y3=-（y1+y2），代入③，有（x1+ x2）2+（y1+y2）2=1，展开，并结合①、②得，即

反思总结：其实，联系到单位圆上的点可以设为（cosθ，sinθ），问题的模式就是三角题目了.利用单位圆的参数方程，原题转化为：若cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+ sinγ=0，求证

如果注意到△ABC的外接圆是单位圆，那么外心是坐标原点，而△ABC的重心坐标是（0，0），于是，△ABC的外心与重心重合，便知△ABC是正三角形.这样三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），可设为A（cosθ，sinθ），B（cos（θ+120°），sin（θ+120°）），C（cos（θ+ 240°），sin（θ+240°））.这样就达到消参的目的.

包含多个参数的问题，如何处理参数，变更参数，这是需要多加总结、反思和琢磨的话题，诸如：对参数的分类讨论；代入法消去参数以减少变量的个数；换元转化，出现新的自己熟悉模式；抓住要害参数，看作“主元”，形成函数、方程模型.

例3设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］.求证

读题感知：本题是一道高考压卷题，参数比较多，求导方法必然用到，但难在处理参数和识别参数上.

模式识别：函数不等式证明，往往要构造函数、利用函数思想和方程的观点解决之.字母多，突出“主元”，实现化归转化.把陌生的转化为熟悉的.

差异分析：由“函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1，x2”，知x1，x2是一元二次方程f′（x）=0的两个实数根，联想到根与系数的关系，就获得了x1，x2与字母b，c的等量关系，这样，就可以把目标里的b，c消去，实现了减少参数的目的.获得把x2看作“主元”，这是关于x2的一元三次函数，利用其在特定闭区间［1，2］上的单调性进行放大和缩小.最终又归结为x1的一次函数，大有层层简化的感觉.

规范解答：因为f′（x）=3x2+6bx+3c，所以，由题意知x1，x2是关于主元x的一元二次方程3x2+6bx+3c=0的两个实数根，从而，利用韦达定理，得x1+x2=-2b，x1x2=c.

因为x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］，所以

因为x1∈［-1，0］，-4+6x1和是增函数，所

若先把f（x2）看做关于x1的一次函数，在x1∈［-1，0］上显然是递增的，所以

这样的解答只是变换了“主元”的次序，看来，“主元”能够突破多字母的困绕，实现问题求解思维的明朗化、清晰化.在做完一道题目之后，做些总结、反思是必要的，但提出新的类似的问题，更能发展自己的思维模式，从积极积累模式、自觉使用模式，到努力突破模式.同样地，可以研究类似问题：设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈［-1，0］，x2∈［1，2］，试求函数值f（x1）的取值范围.

二、温馨提示

怎样解答高考数学题，温馨提示助你正能量.

（1）在读题的过程中，实现模式识别，学会差异分析，学会模式变更.

（2）在解题之后做一点反思是很有必要的，想想题目的条件是什么？解题目标什么？为什么要这样做？不这样做行吗？解答过程还能简化吗？不这样求解还有更好的办法吗？

（3）“建（坐标系）、设（字母、点坐标）、列（方程、函数、不等式）、解（找联系、关系）、验”这5字解题模式，值得思之、思之、再思之.

（4）解题就是实现文字语言、符号语言和图形语言之间的翻译和转换.读一句、思考一句、翻译一句，写一句，得一点分数.

（5）学起于思，思源于疑.运算是一种推理、推理要有目标、要简明合理、更要讲道理.强化思维分析，提升心算、脑算能力，解题速度很重要，建议你少用点草稿纸吧.

我们知道，数学是一种关系（数量关系、图形关系、随机关系），数学解题就是找关系.在读题的过程中，迅速检索贮存在大脑中的相关模式，进行模式识别，在消除条件和解题目标之间差异的过程中，学习模式流转、变更、替换.把基础知识、基本概念、核心公式定理等模块印记在自己的大脑里，把考题的基本类型固化心中，让“想清楚、说明白、写规范”作为我们高效复习数学的一种追求，有模式，但不唯模式.请相信，数学是美好的、数学是简单的、数学高考是容易的，数学一定会成就自己的高考，实现自己的人生转折.FH