客从何处来：一道几何把关题的命制历程

☉江苏海门市悦来初中　杨卫东

客从何处来：一道几何把关题的命制历程

☉江苏海门市悦来初中杨卫东

中考把关题的命制坚持“从教材出发，源于教材、高于教材”已逐渐成为各地中考命题组的共识.本文记录一道考题（2016年江苏省南通市第27题）的命题历程与打磨意见，供分享.

试题原型：（人教版九下P36，练习2）如图1，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.

图1

求证：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC.

考查方向：主要考查相似三角形的判定方法，由∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，得∠A+∠ACD=∠BCD+ ∠ACD=90°，可得∠A=∠BCD，进而△ACD∽△ABC∽△CBD.

设问方向：

（1）在这个基本图形中，只要已知其中的任意2条线段长，你可以求出其他所有线段长吗？

设问意图：比如已知CD和AB的长，可设AD=x，则BD=AB-x，利用CD2=AD·BD得x（AB-x）=CD2，解这个一元二次方程，即可求出x的值，利用已知图形中AD与BD的大小关系，可以确定AD与BD的长，再利用勾股定理去求出AC、BC的长.

（2）若已知两直角边的长，不利用三角形相似，你能求出斜边上的高CD的长吗？

形成初稿：如图2，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CO⊥AB于点O，D是线段AB上一点，DE=a，DE∥AC（∠ADE＜90°），连接AE、BE、CD，设BE、CD的中点分别为P、Q.

（1）当四边形ACDE是菱形时，求AD、CO的长；

（2）当a=2时，求PQ的长；

（3）点D从点A开始运动到点B停止，请直接写出线段PQ的中点运动的路径长.

图2

图3

所以，（1）中添上了条件“四边形ACDE是菱形”，考生需要分析出a=3，且点O恰好是线段CE的中点.

当然，凭借“试题原型”中的经验，不难求出AD和CO的长.

（3）中求线段PQ的中点运动的路径长，可以先突破：动点P、Q的运动轨迹是什么？由平移的性质和点D的起始位置与终止位置得：四边形AEE′B是平行四边形，点P和点Q的运动路径分别为线段PP′、QQ′.（见图4）

图4中，PB=PE，BP′=P′E′，有PP′∥EE′，PP′=EE′；又▱AEE′B中，EE′=AB，EE′∥AB，得PP′∥AB，PP′=E′P′B（D′）AB.同理：QQ′∥AB，QQ′=AB.所以PP′∥QQ′，PP′=QQ′，即四边形PP′Q′Q是平行四边形.于是可求出线段PQ的中点运动的路径长=

图4

打磨意见：首先是题干中已知条件DE=a，会给考生带来一定的思维难度，究竟a有多大呢？倒不如直接给出DE的长度；

（1）中添上的条件“四边形ACDE是菱形”没有为求OC的长带来任何作用，只是为求AD的长起到了AD= 2AO的小小作用；况且能真正给予考生去解决（2）的方法暗示的信度并不高.所以四边形ACDE是菱形不添加为好！

图5

形成二稿：如图5，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，DE∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD，设BE、CD的中点分别为P、Q.

（1）求AO的长；

（2）求PQ的长；

（3）点D从点O开始运动至点B停止，请直接写出线段PQ的中点运动的路径长.

形成三稿：只对（3）进行修改.

（3）如图6，当CP平分AB时，求tan∠BED.

设问解读：设CP与AB相交于点H，延长ED交CP于点N，交BC于点T，连接AE.（见图7）

图6

图7

打磨意见：本小题把三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数进行了有机组合，综合性很强、难度太大，得分率一定很低，真的是一道难跨的坎！看来还需从线段PQ的运动轨迹去打磨和调整.

图8

设问解读：过点P作PK∥ED交AB于点K，过点Q作QS∥AC交AB于点S.（见图8）

形成定稿：（只是对最后一问进行了修改）

（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM-MQ|的值.

结束语：

南京大学哲学系郑毓信教授指出“善于使用化归是数学家思维方式的重要特点”.数学解题的化归策略丰富多样，相信上述命题历程的揭秘有助于广大师生在复习备考中有的放矢，使得解题教学的针对性更强，比如学会遇河建桥、遇堵绕行、遇山开道、遇动找静、遇难化解等.如何让思维在高速道上奔跑，让亮点在高架桥上挂满，恰是命题组献给考生的最佳礼物.

参考文献：

1.郑毓信.数学方法论入门［M］.杭州：浙江教育出版社，2006.

2.刘东升.南通中考数学卷：21年的回望与坚守［J］.中学数学教学参考（中），2012（1-2）.

3.【美】波利亚.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.