微专题：“圆”中常见定理及常见辅助线

☉江苏江阴市青阳第二中学　孙海峰

微专题：“圆”中常见定理及常见辅助线

☉江苏江阴市青阳第二中学孙海峰

近期，阅读《中学数学》（下）刊发的系列“一题一课”的文章，受益匪浅，恰逢笔者所在学校大力推行中考复习课“微专题”设计，笔者结合读刊心得和自己的教学实践设计的“圆中常见定理及常见辅助线”受到验收组专家的一致好评，现成文简单介绍，并对“微专题”的设计思路给出两点思考，不当之处，还请各位专家和同行批评指正.

“圆”是中考的必考内容，也是中学阶段几何学习的核心知识.由于教育部2013年审定的《义务教育教科书·数学》和《义务教育数学课程标准（2011年版）》删掉了“圆”中的部分内容，只保留了最“母体”的知识和定理：比如垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质定理和判定定理、切线长定理等，导致部分一线教师对“圆”这一章内容的教学有所淡化，这是极其严重的错误；当然也出现了一个更为极端的现象，有的教师把已经删掉的内容又搬回了课堂.对于上述两种极端，在教学中应该引起一线教师的足够重视.

一、原题呈现

如图1，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）.

说明：所选试题为2013年四川省内江市的一道中考选择题，题目的题干叙述简洁，清晰明了，图形也比较简单，但是所考查的知识却几乎涵盖与“圆”相关的所有知识，比如垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论，是一个不错的题目，符合“好的题目”（章建跃语）的特点，重要的是符合“微专题”的“微”这一典型特点.

图1

图2

二、解法探究

解法1：连接BD，连接OD和BC交于点E（如图2）.

因为AB是直径，所以AD⊥BD.

因为AD平分∠BAC，所以点D是弧BC的中点.

根据垂径定理可得：E为BC的中点，且OD⊥BC.

因为AB是直径，所以AC⊥BC.又因为AB=10cm， AC=6cm，所以BC=8cm，进而BE=BC=4cm.

总结：通过上述求解过程可以看出，整个求解过程共添加了三条辅助线：连接BD和BC，都是因为AB是直径（直径所对的圆周角为90°），连接OD，是因为D是弧BC的中点，是为了构造垂径定理的基本图形.

解法2：连接OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点O 作OF⊥AC，垂足为F（如图3），则△AFO≌△OED（AAS）.

所以OE=AF=3cm，DE=OF=4cm.

在Rt△AED中，AE=AO+OE=8cm，DE=4cm，所以AD=4cm.

总结：可以看出，不管是方法1还是方法2，都是把AD放在直角三角形中，借助勾股定理的逆定理进行求解的.解法2也添加了三条辅助线，其中OF也是为了构造垂径定理的基本图形，OD是为了构造一条半径，而DE是为了构造直角三角形和全等三角形而添加的.

图3

图4

解法3：需要用到角平分线的性质，在此略去求解过程，只给出添加辅助线后的图形（如图4）.

添加的两条辅助线（由于用到了其他知识，所以辅助线的条数少了）在解法1中已经说明.

解法4：我们还可以利用高中所学知识（二倍角公式）来解决上述问题，在此略去.

下面对上述四种解法，特别是解法1和解法2进行简单的总结，同时也对这个微专题给出一个小结：

圆中常见的定理　　圆中常见的辅助线垂径定理及其推论　　连接圆心和弦的中点圆周角定理及其推论　　构造直径所对的圆周角

说明：对于现行教材中与“圆”相关的另外两个重要定理（切线的判定定理和性质定理），在下一个微专题复习.

下面给出一个对应课堂练习：

如图5，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）.

图5

图6

图7

下面只给出该题添加辅助线的方式（如图6和图7），其中图6对应着圆周角定理及其推论；图7对应着垂径定理及其推论.

下面再给出两个对应的课下练习，主要是为了引出下一个“微专题——切线的判定定理及性质定理”，做到课堂教学的“承前启后”.

题1：如图8，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上的一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E=_______.

题2：如图9，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点.若∠CDB= ∠BFD，求证：FD是⊙O的一条切线.

图8

图9

三、两点思考

1.“微专题”要“微”

从上述题目的选择（一道选择题）就可以看出“微”是其一个显著特点，切记长篇大论，更不要选择一个连读完题干都要花很长时间的题目.本题整个题干仅有十余字，读来简洁易懂，不会产生歧义.

其中，另外一个“微”体现在“一题一课”上，避免了课堂教学的“满堂灌”，一节课下来，老师讲了很多题，不要说理解题意，更不用说会做了，一节课下来读完题干都困难.“一题一课”“微专题”是一个很好的纠偏方法，应该大力提倡.

最后，“微专题”应该要做到课堂教学时间的把控，最好不要超过15分钟，时间过长就违背了“微专题”设计的初衷.

2.“微专题”要“专”

“微专题”设计的另外一个显著特点就是一定要“专”.比如本专题定位于“圆”中重要的定理和常见的辅助线，没有夹杂过多的教学目标，仅仅涉及与“圆”相关的两个重要定理（垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论），显得很“单纯”，符合“追求简洁”的课堂教学的理念.

此外，“微专题”的“专”还体现在选题的专业上，所选题目应该考查该问题的核心知识点，重点突出，所选题目应该具有典型性、代表性，同时具有一定的推广性，能够起到举一反三、触类旁通的教学效果，使学生再遇到类似问题的时候，可以顺利求解，起到借鉴的作用.

四、结语

微信、微博到现在席卷教育界的微课，这都体现了信息技术对我们的生活方式和学习方式的改变.作为一线教师，在课堂教学中，也应该做到与时俱进，不断将新的技术融入到我们的课堂教学中，开发出适合当下的校本课程.

我们为“微专题”所作的研究还处于起步阶段，欢迎更多的老师参与进来，设计出更多、更好的典型案例.