基于数学核心素养的小学生推理能力培养

沈科

摘 要：数学核心素养理论为小学数学教学优化指明了方向。本文分析了数学核心素养与小学生推理能力培养的关系，并在此基础上分析了小学数学推理的基本内涵，并结合实例研究了基本的教学策略。

关键词：小学数学；核心素养；推理能力

无论是数学知识的产生和发展，还是人们对知识的理解和运用，推理都在其中扮演着关键性的角色，培养学生的推理能力已成为数学核心素养发展的重要内容，数学课程标准也明确指出应将推理能力的培养贯穿于学生数学学习的整个过程。小学是数学推理教学的初始阶段，学生的学习能力和数学知识的内容特点，都表明培养学生的数学推理能力有着特殊意义。

一、数学核心素养与小学生推理能力的培养

在建构基于学生核心素养发展的小学数学课堂时，我们首先关注的是学生想象力的培养，即学生通过对数与形的观察进行提炼、猜测和概括数学规律的能力，这也是我们常讲的数学直观。数学直观和其他直观的区别在于其抽象性，它只专注于对抽象的数与形进行描述和理解，比如数学研究中的数字没有单位，我们也很少考虑数字对应哪些实物。当然数学直观也只能是直观，任何直接由实践总结或提炼而成的结论和猜想都具有一定的不确定性，甚至完全是错误的。当数学研究遇到上述问题时，我们就需要依靠数学大厦的另一根支柱，即数学推理。

数学推理有着严谨性、逻辑性等特征，可以帮助我们在研究中去伪存真，并且能将数学问题中的千头万绪梳理清楚，这将成为我们验证数学结论正确性的前提，甚至在推理过程中还能发现新的规律。因此，培养学生数学推理能力应该是整个小学数学教学的关键性任务，这不仅因为它是核心素养的重要组成，更因为它是推动学生数学认知前进的重要动力。

在小学数学的教学实践中，我们要结合学生的知识基础和学习规律来发展学生的推论能力，在低年级的数学课堂上，我们的教学目的主要是指导学生认识数、培养数感，然后慢慢过渡到更强调抽象思维的推理论证、逻辑训练的高年级数学教学。在不同阶段推理能力培养的侧重点不同，核心素养的渗透方式也大相径庭。在低年级的数学教学中，我们要引导学生从具体事物中将“数”与“形”的概念提炼出来，并学习将其定量的方法，这是推理能力发展的根基所在；到了高年级，我们将引导学生接触强调严谨性和逻辑性的数学推理，学生也将逐步适应由简单到复杂、由特殊到一般、由已知到未知的数学推理过程，他们的逻辑思维能力和相应的数学核心素养将同步得到发展。

二、数学推理的定义和分类

推理是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式，是由已知判断推出未知判断的思维过程，它在数学研究活动中使用得最为普遍而广泛，同时也更加直接、深刻和彻底。以推理能力发展的角度来审视数学教学，其整个活动过程就是数学的推理过程。

有关推理，心理学、认识论和逻辑学等都有不同的分类方式，而从小学数学教学来讲，我们所研究的推理一般包括两类，即合情推理和演绎推理。

1. 合情推理

合情推理是个体由已知事实出发，凭借个人的经验和直觉，采用归纳和类比的方法来完成某些结果的推断。学生的数学学习是一個复杂的心理过程，其联想、想象和迁移都是与数学直观相伴而行，因此数学思维往往表现出穿越感和跳跃性。合情推理由于是从前提发展出来的“想当然”的推断，因此其结论具有一定的或然性，比如在指导学生认识长方形时，教师讲：“我们将长方形中比较长的那条边称为‘长，那么相对较短的那条边……”教师以刻意停顿来提示学生回答，学生则必然会说：“那条边就称为‘短。”

尽管合情推理的结论不一定可靠，但是它对小学生的数学学习还是非常重要的，而且在整个小学数学推理中所占的比重最大，它经常被运用于学生的思路探索和结论猜想中，为学生自主探究提供最强有力的支撑作用。合情推理一般可以分为类比推理和归纳推理，前者是由特殊到特殊的推理，后者是由特殊到一般的推理。

2. 演绎推理

演绎推理是个体从已知事实和相关规则出发，按照逻辑法则展开的一系列计算和证明。基本事实是演绎推理的依据，合乎逻辑的推算和论证则是推理的核心过程，由此形成的结论与依据之间有着严谨的因果关系，因此往往被用于对猜想的验证过程。

小学数学的课程标准指出：“在解决问题的过程中，两种推理（即合情推理和演绎推理）功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。”课标没有明确提出有关演绎推理的具体要求，但是笔者认为这也是学生数学学习中不可或缺的，因为它能向学生展示数学最严谨的一面。

三、小学生数学推理能力的培养策略

小学生的思维依然以具象思维为主，这一特点与数学的抽象性、概括性、逻辑性、严谨性存在一定的冲突，这也是困扰学生数学能力发展的主要矛盾。如何应对这一矛盾，如何更好地发展学生推理能力，笔者有以下设想：

1. 建构循序渐进的培养体系

学生的推理能力应该是一个动态的概念，它应该随着学生在年龄、心理和知识等方面的成长而不断发展。任何一项能力的培养和发展都有其自身的特点与规律，我们的教学只有匹配相应的发展规律，才能促成其有效成长。简单地讲，我们要建构一个分层次、分阶段的培养体系，这一体系的建构不仅要研究学生的学习特点，也要结合承载推理能力培养的内容来设计。

培养体系可以分成两个阶段，第一阶段是萌芽阶段，该阶段主要是针对一到三年级，培养学生的观察能力，并鼓励学生提出简单猜想。观察是最基本的学习活动，它以感知为基础，和思维联系在一起，它能为学生展开推理积累必要的素材。小学数学中有很多可供学生进行观察的内容，比如认识图形、探求规律等，教师要指导学生科学观察的角度、顺序和方法，并引导学生描述观察的结果，鼓励学生进行猜想，波利亚就曾经指出：“合情推理的实质就是猜想”，要“教会学生大胆猜想”。

第二是成长阶段，该阶段主要针对四到六年级，这时候的学生已经具备推理的基础，同期对应的数学内容也需要学生结合推理能力进行学习和认知。在这一阶段，教师要指导学生尝试着自主进行归纳、类比、演绎等推理活动，以更加有序的思维来研究数学问题，学习数学知识。

以上两个阶段的界限划分比较模糊，尤其是在三四年级，教师要结合具体的情况来设计教学，一切以学生能适应、能理解、能掌握为基本标准。

2. 以“推理”来代替“接受”

数学研究中涉及大量的原理和定理，正是这些理论指导学生进行问题分析和解决，逐渐地，这些原理和定理也就成了规则。教师往往会以“告诉”的方式，让学生被动地“接受”规则，这种学习状态显然无助于学生主体性的发挥，怎么来改变这一现状呢？我们可以借助推理的力量，即将规则的一小部分告诉学生，让学生自己通过推理来完成对规则的认识。

案例1：“小数的意义”教学中的推理片段

师：请大家回顾一下，如果对1米进行平均分配，分成十份、一百份、一千份，其中的一份或几份可以用哪些数来表示？

生：可以用小数或分数进行表示。

师：能具体说说吗？

生：如果是分成十份，可以用十分之几和一位小数表示；如果是分成一百份，可以用百分之几和两位小数表示；如果是分成一千份，则可以用千分之几和三位小数表示。

师：如果再分下去，分成一万份、一百万份乃至更多，其中的几份还能采用上述方式表达吗？你能据此发现小数与谁有着密切的联系？是与哪些分数有联系？有着怎样的联系？

在以上案例中，教师先引导学生对基础的知识点进行回顾，然后引导学生对知识展开引申，并通过问题串来引导学生展开推理，这样的过程将促成学生对规则的认识。

在引导学生建构规则等程序类的知识时，我们如果能引导学生展开推理，那么将对学生的学习方式带来彻底的变化。学生将由原先的被动接受与识记演变为主动探索、猜想和论证等数学推理活动。这样的课堂增添了很多智慧和灵动，学生通过对推理过程的经历和体会，收获的将不仅仅是数学知识，更有推理方法、经验和思想，这能有效培养学生的数学兴趣和学习信心。

3. 由合乎情理到合乎逻辑

人们进行知识探索和发明创造都是由合乎情理的猜想出发，再经历有根有据的论证，这是最常规的思维模式。我们引导学生学习小学数学也要经历上述过程，即让学生充分体验“由合乎情理到合乎逻辑”的推理过程，这样才能让学生体会到数学知识的整体性和完美性。

案例2：“小数的意义”复习中的推理片段

师：■=0.1，那么■等于多少？

生：■=0.3。

师：不错，我们在三年级的数学学习中就曾做过猜想和推测，那么为什么会有这一结论呢？你能从数的组合角度给出证明吗？

生：■是0.1，■是三个■，也就是三个0.1，所以等于0.3。

以上案例充分展示了合情推理与演绎推理在功能上的差别，前者主要运用于思路的探索，学生将由此形成猜想；后者则侧重于验证和证明，促使结论的形成。两者完美地建构了“猜想-论证”探究活动的逻辑线索，有着相辅相成的关系。

4. 由合情推理向演绎推理过渡

数学课程标准对演绎推理还有这样的描述：“通过实例使学生逐步意识到结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。”合情推理和演绎推理有着相互促进的作用，教师应用注重引导和论证，引导学生由合情推理过渡到演绎推理，渗透演绎推理的思想。

案例3：“三角形的内角和”教学中的推理片段

师：请同学们自己画出几个大小不一的三角形，然后用量角器测量每个三角形的内角度数，看看三角形的内角和为多少？

学生开始操作，并形成猜想：三角形的内角和为180°。

师：180°是一个什么角？

生：平角。

师：你能对自己所画的三角形进行适当的裁剪，以此来证明你们的猜想吗？

学生对三角形进行裁剪，将三个角拼成了一个平角，猜想获得验证。

以上案例中，通过测量形成猜想是合情推理的过程，而后的裁剪拼凑则是演绎推理的过程。在教学中，教师无须让学生全方位把握演绎推理的“三段论”（即大前提、小前提和结论），但也有必要让学生知道最終结论的形成应基于两项前提：平角等于180°（大前提），三个角拼在一起形成一个平角（小前提）。以上就是由合情推理过渡到演绎推理的过程，这样的教学可以让学生不再停留于现象的表面，而能更加深入地理解知识的内涵，并发展相应的逻辑思维能力。

在小学数学的教学过程中，我们以合情推理为主，同时也要注重演绎推理思维方法的渗透，虽然它在整个小学数学体系中不占主导地位，但是其作用却不容小觑，一方面合情推理的结论是否正确，需要由演绎推理来证实；另一方面，系统化地学习推理有助于学生更加全面地认识数学，并且能逐步掌握学好数学的方法。