数学理解，让数学“深度学习”成为可能

方宽燕

摘 要：数学理解是数学教学的基石，也是学生数学核心素养形成的必要条件。教师在教学中既要对数学知识有静态的把握，又要对学生学情有动态的把握。通过引发学生的理解性学习心向、导引学生经历理解性过程，帮助学生建立理解性关联。

关键词：数学理解；理解心向；理解过程；理解关联

关于“理解”，《辞海》中的阐释是：“通过揭示事物间的联系而认识新事物的过程。”显然，数学理解是对数学知识（包括数学概念、规律等）的本质认识。基于“深度学习”的视角，学生的数学理解不仅指对数学知识“知其然”，而且指对数学知识“知其所以然”，不仅掌握数学知识的“来龙”，而且洞悉数学知识的“去脉”。以“数学理解”为教学的价值取向，能够引领学生走向数学本质教学，从而让数学“深度学习”成为一种可能。

一、数学理解，理解什么？

“数学知识”是人类“生命·实践”活动的智慧结晶。数学理解不仅指对数学知识结果的理解，而且指对数学知识形式化、抽象化、公理化过程的理解，对数学知识结构、数学知识应用的理解。例如教学“几何图形的周长与面积”，尽管教师在教学中让学生动手操作、合作交流、推理验证，但由于忽视“过程性目标”，将着眼点聚焦在“几何图形的周长与面积公式”上，因而在一段时间后，学生头脑中只留下了“梯形面积公式=（上底+下底）×高÷2”“长方形的周长公式=（长+宽）×2”。真正的理解应该是全方位、立体式的理解。如对于“梯形的面积”的理解，首先是对梯形面积公式推导过程的深刻把握；其次是对梯形面积公式的表征形式以及各种变换形式的把握；再次是对梯形面积公式在不同情境下的灵活运用；最后是对梯形面积公式与三角形面积公式、平行四边形面积公式以及圆形面积公式关系的把握等。如此，不仅理解了数学知识内涵、意义，而且理解了蕴含在数学知识中的数学思想、方法与精神。那么，影响数学理解的重要因素是什么呢？

1. 对教材知识的静态把握

由于教材是静态的相对稳定的因素，因此教师在进行教材解读过程中必须从教材的点、线、面、体不同视角对教材做出解读。如“梯形的面积公式”，点的理解是对梯形面积诞生过程及结果表征的理解；线的理解是对梯形面积公式与平行四边形面积公式、长方形面积公式脉络关系的理解；面的理解是对梯形面积公式与三角形面积公式、平行四边形面积公式的整体理解，即当梯形上底为0时，梯形面积公式就会演化成三角形面积公式，当梯形上底和下底相等时，梯形面积公式就会演化成平行四边形面积公式，当梯形上底为0，下底为圆的周长，高为圆的半径时，梯形面积公式就会演化为圆的面积公式；四是對梯形面积公式在整个小学阶段几何面积公式中的地位及其关系的理解，即梯形面积公式可以成为一个模型，用来表征其他相关图形的面积公式。

2. 对学生学情的动态把握

学生是影响数学理解的一个动态因素。理解是有条件的，即学生拥有理解的认知基础和心理基础。例如教学《梯形的面积公式》，由于学生已经有了探究平行四边形、三角形的面积公式的活动经验，包括操作经验、推理经验等，这是学生数学学习的经验起点；也有平行四边形、三角形的面积公式等知识基础，这是学生数学理解的知识起点。有了经验起点和知识起点，学生的数学理解就如同呼吸一样自然。正如美国著名教育心理学家奥苏泊尔所说，“影响学生的最重要的学习因素是学生已经知道了什么，并据此进行教学”。

综上所述，基于“数学理解”的数学教学是教师将教材凝缩的知识解压，恢复其诞生时的鲜活状态，将数学相关知识前后左右勾连起来、贯通起来。通过对数学知识点的透彻分析，通过对数学知识的比较、统整，让数学学习不再“零碎化”“快餐化”“无序化”。

二、数学理解，怎样理解？

数学教材知识是静态的，儿童的数学认知是动态的。在数学理解过程中，学生与知识始终处于不断地互动之中，正所谓“静中有动，动中有静”。因此，数学教学就是要找寻静态的数学知识与动态的学生学习的最佳融合点。

1. 催生：引发“理解性” 心向

以“理解”为取向的数学教学，首先要引发学生学习心向。可以链接学生理解性经验，设计理解性问题，打造理解性平台。通过生活事理、学生已知和几何直观等助推、催生学生的数学理解。激活学生理解性心向，关键在于学生生活经验、数学问题和几何直观要具有针对性、启发性和生成性。通过学习心向的诞生，让学生能够找寻到学习路径。通过自主探究，“跳一跳”能够触摸到数学知识的本质。

例如教学《整数四则混合运算》，通常教法是教师出示情境图，然后用相关问题引导学生先算什么？再算什么？通过实际问题的引导，让学生自主归纳出算法，即先算乘法，再算加法或减法。在这一部分内容学习中，学生普遍感觉是“没意思”“没感觉”，看似简单的内容学生在随后的练习中却错误频出。究其根本，在于教师在教学中没有引发学生的探究学习的意向，学生被教师牵着鼻子走。笔者在教学中，首先出示算式20+5×3，让学生彼此间讨论、交流，先算什么，再算什么，激发学生认知冲突。有学生认为，应该先算加法，再算乘法，因为加法在前；有学生认为，应该先算乘法，再算加法，并且自发举出一些例子，通过例子赋予抽象算式意义。在这个过程中，学生或冥思苦想，或畅所欲言，整个学习都处于理解性学习状态之中。学生认为，数学学习很“有意思”“有意义”。

可见，理解性的学习不是教师将知识“和盘托出”，而是将知识“隐藏”起来。只有这样，才能引发学生的探究心向、欲望。否则，学生数学学习就“味如嚼蜡”，用学生的话来说就是没意思、没感觉。只有学生的学习心向被调动起来，才能让学生数学理解走向深度。

2. 孵化：经历“理解性”的过程

理解性学习从学生思维出发，通过组织数学化活动，慢慢孵化学生数学理解。教师组织开展特定的数学活动，让学生经历知识的产生、发展和形成全过程。有时候，教师还要有意识地延长这样的过程。因为只有学生充分经历数学知识诞生的过程，才能对数学概念、法则、性质、公式、数量关系和解题策略等形成系统而理性的认识。因此，教师要对数学知识进行深度追问、开掘，彰显知识背后体现的是怎样的数学本质，怎样的数学思想、方法。

例如教学《认识平行线》，通常教法是教师让学生观察两条异面直线的位置关系，通过感知得出“同一平面”和“不同平面”的概念。在此基础上，教师出示同一平面的几组直线，引导学生分类，进而得出“平行”“相交”的概念，建立平面内两条直线的位置关系。其实，这样的教法，只是静态数学知识的辨析、比较，学生没有经历充分数学化的活动，没有形成数学思想和方法。基于直线动态变化的视角，笔者在教学中引导学生将直线在同一平面内平移、旋转。学生通过动手操作，深刻感受到直线如果平移，那么这条直线和原来直线的位置关系就是平行；直线如果旋转，那么这条直线与原来直线的位置关系就是相交；当这条直线旋转90°时，这条直线与原来直线互相垂直。学生通过自主操作发现平行、相交与垂直的关系。同时，一部分学生既通过平移又通过旋转的操作，竟然产生了异面直线。在这个过程中，学生能够从运动、发展和变化的观点来学习数学，洞察了平行和相交的数学本质。

3. 织网：建立“理解性”关联

数学是一门结构性很强的学科。在数学教学中，教师要致力于形成学生的认知结构。在某种意义上，促进学生数学理解就是帮助学生实现数学知识结构化、网络化。教师要自觉强化知识整体概念，明确知识内在层次、多向联系，找准同类或近類知识异同点。通过聚类分析、分类分析，不断完善结构性、开放性知识块、知识群。

例如教学《三角形的分类》，在学生按照角、边分别对三角形进行分类后，笔者运用“集合图”，完善学生的认知结构。有学生按照角将三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；有学生按照边将三角形分成等腰三角形和不等边三角形（如图1）。

当学生用两种集合图厘清知识之间抽象、复杂的关系之后，笔者让不同分类的学生之间质疑问难，将学习引向深入。其中，第二幅集合图的学生问第一幅集合图学生：“等腰三角形该怎样放？等边三角形该怎样放？等腰直角三角形该怎样放？”第一幅集合图的学生问第二幅集合图学生：“等边三角形该怎样放？锐角三角形、直角三角形和钝角三角形可以怎样放？”据此，学生各自对自己的集合图展开、完善，生成了新的三角形名称，如等腰锐角三角形和不等边锐角三角形，等腰直角三角形和不等边直角三角形，等腰钝角三角形和不等边钝角三角形等。学生在集合图中大胆操作，在这个过程中，学生厘清了知识点，突破了学习难点，形成了具有缄默性质的知识网络图。

让学生自己织网，由“点”到“线”，由“线”而“面”，由“面”及“体”，通过连接相似、冲突、变化的知识，学生能够贯通知识的来龙去脉，联通知识与生活，知识与知识之间的逻辑，形成具有强大吸附力的知识结构。如此，学生既能深度理解知识节点，又能深度把握知识发展脉络。

数学理解是数学学习的基石。可以说，没有理解就没有深刻的思维，没有理解就没有学生数学“核心素养”的提升，没有理解，教师数学教学就会被架空。因此，作为教师，我们必须关注学生的数学理解，研究学生的数学理解，落实学生的数学理解。通过数学理解，促进师生数学的教与学。