基于“核心素养”视角，培育学生数学推理能力

周康

摘 要：数学推理是由已知判断推出未知结论的过程，数学推理主要包括合情推理和演绎推理。小学生数学推理需要情境、方法的支持，需要教师的呵护。教师要为学生数学推理搭建平台、指引方向和提供线索，引导学生积极参与到推理活动中来。积累学生推理活动经验，引导学生感悟推理的思想方法，进而培育学生数学“核心素养”。

关键词：数学教学；核心素养；推理能力

推理是学生数学学习的基本思维形式，也是数学教学的核心内容。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心词，推理能力就是十个核心词之一。《课标》要求要“将推理能力的培育贯穿于学生整个数学学习过程之中”。近年来，有专家认为，这十个核心词就确证和表征着学生的数学“核心素养”。而东北师范大学史宁中教授甚至认为，数学的基本思想就是“抽象、推理与模型”，可见，推理在数学中的地位。那么，什么是“数学推理”？小学数学教学中如何培育学生的推理能力？

一、如何理解小学数学中的推理？

所谓“推理”，通俗地说就是由已知判断（前提）推出未知判断（结论）的过程。广义地说，一切数学公式、定理和法则等都是推理的结果。换言之，任何数学知识都有存在的依据。狭义地看，推理是“从事实和命题出发，依据规则推出一个命题的思维过程”。数学推理主要包括“合情推理”和“演绎推理”。其中，“合情推理”即是从已有事实出发，依凭数学直觉、数学已有知识经验，通过类比或者归纳等推断某些结果的过程。显然，合情推理又包括类比推理和归纳推理（包括“不完全归纳推理”和“完全归纳推理”）。“演绎推理”即是从已有事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。应该说，推理的主要形式就是演绎推理。一般认为，合情推理是从特殊到一般的推理，而演绎推理是从一般到特殊的推理。

在小学数学教学中，合情推理应占据主导地位，这是由学生的年龄和心理特征所决定的。但在教学中，教师绝不能忽视学生演绎推理能力的培育。数学的本质就是抽象、概括，因此，演绎推理是整个数学知识体系中推理的主导方式。通过演绎推理，学生能够提炼数学的本质属性，能够帮助学生去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里。只不过由于学生的思维尚处于具体形象思维阶段，所以，小学数学教学中的推理以合情推理为主。此外，由于合情推理常常用来猜想，演绎推理常常用来证明，而小学生的想象力是丰富的，因此小学数学教学应当以合情推理为主。因此，在小学数学推理教学中，教师要容忍“不严格的清楚”，允许学生“大胆地猜测”，引导学生“小心地求证”（胡适语）。

二、小学阶段如何培育学生的推理能力？

培育小学生的推理能力需要教师在日常教学中引导学生观察、比较、联想、猜测，甚至需要激发学生的数学灵感，引发学生的数学想象。合情推理有时犹如一个暗箱，是跳跃性、看不见的数学思维，是一种“敏感性精神”；而演绎推理需要将思维敞亮出来，需要学生清晰地表达、论证，是一种“几何学精神”（帕斯卡尔语）。教学中，教师要根据知识的特质和学生的具体学情，培育学生的数学推理能力。

1. 情境孕育，为学生的数学推理铺平道路

小学生推理能力的培育需要情境的土壤。心理学研究表明，只有在“心理安全”和“心理自由”（罗杰斯语）的状态下，学生才能展开有效的推理，尤其是具有发现性的合情推理。许多数学知识的发现，都是源于学生的自由想象。著名数学家庞加莱的研究告诉我们，人们头脑中储存了一种类似原子的数学概念或者思想，庞加莱称之为“观念原子”。当学生处于心理自由的状态时，这些观念原子就被激发，处于相互碰撞、相互组合的状态，由此能够诞生一系列灵感，这就是一种“科学的机敏”。

例如教学《圆的周长》，笔者用圆的一个外切正方形和一个内接正六边形，引发学生猜测圆的周长的大小。由于有图形的支撑，学生可以展开深入的观察、比较、猜想，学生之间在心理自由的状态下掀起了“思维的风暴”。有学生认为，圆外的正方形的边长正好是圆的直径，所以圆外的正方形的周长是圆的直径的四倍；有学生认为，圆内正六边形的边长正好是圆的半径，所以圆内的正六边形的周长是直径的3倍。应该说，学生的数学表达是学生数学观察、推理的结果。可以看出，这里的推理是“合情推理”与“演绎推理”的交织、融合。一方面，学生能够洞察圆的直径与正方形边长和正六边形边长的关系，是一种数学直觉，可以认为是合情推理；另一方面，学生能够将圆的直径和正方形的周长以及正六边形的周长联系起来得出结论，这是逻辑思维的结果，是一种演绎推理。更有学生将大家的数学表达联通起来思考，认为圆的周长应该比正方形的周长小，比正六边形的周长大，即在正方形的周长和正六边形的周长之间，这就是演绎推理了。

学生对数学知识存在着天然的好奇心和求知欲，教学中教师要在民主、平等的教学氛围中搭建学生数学发现的“脚手架”，催生学生的数学猜想、发现。在这个过程中，学生能够展开出神入化般的创造性思维活动。通过充分地酝酿、冥想，学生能够形成出乎意料的发现，找寻到一种惊喜的感觉。

2. 方法催生，为学生的数学推理指引方向

学生的数学推理需要教师的助推，有时教师数学方法的点拨和数学思想的启迪能够为学生的数学推理提供线索。推理，有时就是要善于发现事物内部的关系或者结构。著名数学教育家波利亚认为，“数学不仅要教证明，也要教方法、教猜想”。教学中，教师可以这样点拨学生，“猜测一下，它可能是？”“仔细观察，你觉得可能怎样？”“从整体上看，你有什么想法？”“深入地比较，你有怎样的发现？”“操作一下，看看……”。方法的催生，能够为学生的数学推理指引方向。

例如教学《平行四边形的面积》，笔者首先和学生一起复习了“长方形的面积公式”“正方形的面积公式”，然后向学生出示了平行四边形图，图上标有底、斜边和高的长度。在此基础上，学生对平行四边形的面积形成了三种猜想：一是认为平行四边形的面积用“底×斜边”；二是认为平行四边形的面积用“（底+斜边）×2”；三是认为平行四边形的面积用“底×高”。第二种猜想显然是一种“伪猜想”，因为它不是算的平行四邊形的面积，而是算的平行四边形的周长，因而被大家迅速否定。接着，“猜想一”和“猜想三”的学生分别说出了猜想的依据。“猜想一”的学生认为，平行四边形的框架可以通过推拉转化成长方形，平行四边形的底是长方形的长，平行四边形的斜边是长方形的宽，因为长方形的面积是长×宽，所以平行四边形的面积是底×斜边。“猜想三”的学生认为，可以将平行四边形沿着高剪开，然后通过平移，转化成长方形。基于学生各自的理由，笔者出示了一个长方形的框架，然后慢慢斜拉，学生发现长方形渐渐演变成平行四边形，“猜想一”的学生很兴奋，但是随着倾斜度的加大，学生直观看到平行四边形的面积越来越小，最后接近于0。于是，学生的“猜想一”被证伪。进而学生在“猜想三”的引导下，展开了实践探索。数学实验与演绎推理圆融，一方面，学生对平行四边形进行剪、移、拼，另一方面，学生根据平行四边形底、高与长方形的长、宽之间的关系，演绎出平行四边形的面积公式。

教师突出平行四边形和长方形之间的关系，为学生的合情推理和演绎推理提供线索。学生从对事物的表面特征转向依据事物内部的关系或结构，在更高的思维层次上实现了平行四边形和长方形之间的转化。学生自觉地寻找平行四边形和长方形深刻的本质联系，而这正是对学生启蒙演绎推理所必需的。

3. 兴趣呵护，为学生的数学推理提供动力

众所周知，绝大部分小学生的推理都属于合情推理，但合情推理中也有演绎的成分，这是因为合情推理有时需要借助于“證明和证伪（反驳）”。从某种意义上说，反驳本身就是一种演绎推理。学生清楚地知道，对于一个结论，只需要举出一个反例，就能推翻它。在小学数学教学中，当学生的知识、经验和心智都不那么足够时，教师要容忍学生在某些方面的“不严格的清楚”，呵护学生的推理兴趣。只有这样，才能为学生的数学推理提供动力。对于小学生而言，有时，“不严格的清楚”反而比“严格的不清楚”更好。

例如教学《小数的意义》，在学生认识到十分之几米是零点几米、十分之几元是零点几元后，笔者启发学生推理“百分之几米是零点几米、百分之几元是零点几元”。学生认为，百分之几米就是零点几几米、百分之几元就是零点几几元，百分之几就是零点几几。由此，自然地穿越“严格的不清楚”的屏障，抵达“不严格的清楚”的境地。在此基础上，笔者让学生对自己的推理举例验证，学生形成了精彩的演绎：0.05米是5厘米，■米也是5厘米，所以0.05米就是■米，0.05就是■；0.25元是2角5分，■元也是2角5分，所以0.25元就是■元，0.25就是■。在这里，学生演绎推理的大前提、小前提和结论一目了然。这样的教学，学生收获了满满的自信和成功。

在小学阶段，笔者认为，呵护学生的推理兴趣比培养学生的推理能力在某种意义上更为重要。对于学生而言，“不严格的清楚”很有价值，它们丝毫不会影响学生对于数学新知的求证。学生的推理能力发展具有阶段性，小学阶段的使命是积极地启蒙。只要不违背结论的科学性，教师就要容忍学生的“不严格推理”。

学生的数学学习是学生不断地进行抽象、推理和建构数学模型的过程。学生在推理的过程中能够促进对数学知识的本质理解。教学中，教师要不断积累学生的推理活动经验，感悟推理的数学思想方法，引导学生积极参与到推理学习活动中来。在这个过程中，学生的数学“核心素养”悄然创生。