变教为学

曹俊

摘 要：当学生升入初中后，贯通整个小学阶段的精确计算数学内容中对他们的后续学习起指导性作用的是什么？仅仅是熟练准确的竖式演算技术吗？当各种高科技计算仪器渗入生活的方方面面时，这个教学目标显然有些落伍。数学教学不但要关注学生获取了什么，了解了什么，更为要紧的是在学习过程中有什么创造，有什么发现。本文将根据计算“三位数乘两位数”教学实践，浅析如何“变教为学”。

关键词：乘法；竖式；算理；本真；意识；认知；规律

数字计算常常被贴上粗浅、无趣的负面标签，对于该板块的学习任务通常是以“快、准、直”为目标。课堂上通常的做法是，先分析讲解算理，然后套用教材中的格式进行海量、反复的操练，形成应激性条件反射，学生一见到这类型的题目也是不加思考，提笔就算。这种机械、重复训练，大大降低了学习的趣味性和新鲜感，很容易心生厌恶，产生反感情绪。那么，究竟怎样在计算教学中紧紧扼住知识的本质特性，将学生思维的自由度得到最大限度发挥呢？以这个问题为导向，笔者创设了两个随堂活动。

一、找准靶向，设计学习活动

活动一：下面是计算乘法算式的4种不同方式，你觉得它们都正确吗？和同学讨论交流。

因为学生已经学习过乘法，因此能迅速判定图3所示的竖式规范正确。这种算法先求出了1个114，再求出20个114，然后竖式中显示，将两次相乘的乘积求和，视为最终积。笔者先充分认可了该学生的答案，继而追问：“对其他的几种求法你如何看？”学生不约而同地全盘否定（不难看出旧有教学对学生思维的束缚），笔者并不立即予以点评，而是让学生再观察、再琢磨。在教学中，只有将“时空”的维度进行最大扩充，学生思考问题时才会灵活机动、随机应变。渐渐地，笔者发觉，在充分酝酿之后，学生思维被激活，都有所发现，都踊跃发言、陈述观点。

生1：本小组发觉图1的竖式也是正确的。原理是先把21估计成20，先求出20个114的和，由于少加了1个114，因此追补114，于是得出最终结果。

生2：本小组以为图4这个竖式也是正确的。原理是先求出4个21的和是84，接着求出10个21的和是210，然后求出100个21的和是2100，再将这三次乘积累加得出最终结果。

生3：我为生2的发言进行必要补充，这个算式若把21列在上面，把114列在下面，调换乘数与被乘数的位置，然后拆分114，分别与被乘数相乘。原理与旧版相似。（生3发现此规律，颇为骄傲）

生4：图2的竖式看起来怪怪的，但结果似乎正确（有些犹疑），第一行表示1×4=4；从上往下依次是1×10=10，1×100=100；接着，算20×4=80，20×10=200，20×100=2000，然后将这六个乘积对齐数位相加。

生5：我赞同生4的观点，但必须指出，这样列竖式较为烦琐，不便于校对数位。

生6：我覺得恰恰相反，不用进位，大大降低了心算、口算的记忆难度。

生7：我觉得这种算法只要熟练乘法口诀就可以操作，简单易行。

生8：我觉得第2、3种做法换汤不换药，大同小异，都是算21个114的和，不同的是第二种做法将乘数21与被乘数各个数位相乘后的积单独列行书写……

根据学生的答复，笔者察觉，学生思维的焦点没有困囿于格式表象，而是深入了运算原理以及乘法的原始定义中，争辩讨论的过程恰好凸显了乘法的本源。

二、以史为镜，琢磨算理

从历史维度窥视，算术模式主要有心算、物算和符号化运算。其中用竖式笔算的优势就在于简化繁复过程，实时记录重要参数，以降低凭空记忆的负荷，降低暂时遗忘带来的干扰和破坏。从学生的认知规律看，第二种算法是最原始的演算过程。通过其他一些竖式算法的变式训练，可以帮助学生更好地理解消化乘法算理，把握乘法计算脉络，让学生在验证运算过程中领悟算理。

在学生兴致正浓之时，趁热打铁展示第二个活动。

活动二：针对114×27这个算式，尽量列出基于不同原理的竖式，你觉得哪种方法更适合你？同组成员交流探讨。

由于第一个活动提供的经验，在第二个活动过程中，学生自信满满，参与活动的热情空前高涨，没有一个学生不积极投入思考研究。在汇报总结环节中，笔者归纳出以下几种不同的算法，主要有——

分配法：

图5、图6、图7中，把114与27分别看作114和30，然后再从初始积里面去掉3个114 ；图8、图9中把原式姑且看作114和20的积，然后增补7个114。上述算理学生是充分解构并挖掘了114×27这个算式所蕴含的各种数理逻辑，同时也渗透了分配律。

分解法：

图10所示，学生把27分解变形成3×9，用114与3和9连续相乘；图11是将114分解成三个加数100、10、4的和，然后用这三个加数分别乘以27，然后求出三个积的和。这两种方法的原理和思路相同，就是把与两位数求积降级成与一位数求积，步骤变多了，同时也降低了每步的难度，减轻了计算负担。

三、 从形式到思想

“铺地锦”：500年前，意大利的古籍中提到一种“格子乘法”，后传入中土，在明代的《算法统宗》中称为“铺地锦”（图12）。

原始法：全班大部分学生列出下列算法（图13），故而，这种最原始、最本真的模式才最符合学生的认知。

活动表明，被业界认为简捷高效的传统格式，其实并不是无懈可击。从学生觉醒唤起心理认知出发，这些方法是经过深度加工包装的，书写的简约和工整恰好掩盖了思维路径。这就是学生厌烦竖式计算的原因。如果从一入门就严格要求执行标准格式，也许在多次机械训练中，通过强化经验记忆，能够较快完成计算任务，但是记忆痕迹不深刻，容易遗忘。通过一系列活动，学生对“标准”竖式有了独到的新认识，理解其意义就顺理成章。

小学生喜欢通过在“活动”中的出色表现来展示自己。这节课，每个学生都充分展示了自己的竖式，并发表自己的见解和理论，每个人都能发挥自己的智慧价值。在活动中，他们学会了思考、交流、倾听，他们获得的除了知识本身，还有数学素养。